Як знайти найбільший спільний дільник

Визначення найбільшого спільного дільника

Найбільший загальний дільник (НОД) двох даних чисел a та b - це найбільше число, на яке обидва числа a та b діляться без залишку.

Стисло найбільший загальний дільник чисел a і b записують так: НОД (a; b).

Приклад: НОД (12; 36) = 12.

Деякі пари чисел, наприклад числа 24 і 35, мають як найбільший спільний дільник одиницю. Такі числа називаютьвзаємно простими числами.

Взаємно прості числа - це натуральні числа, які мають лише один спільний дільник - число 1. Їх НОД дорівнює 1.

Натуральне число, яке має більше двох дільників називається складовим.

Як знайти найбільший спільний дільник

Перший спосіб:

Знайти НОД 48 та 36.

  1. Розкласти дільники чисел на прості множники

  1. Підкреслюємо однакові прості множники в обох числах.
  2. Знаходимо добуток однакових простих множників і записати відповідь. НД (36; 48) = 2 • 2 = 4

Другий спосіб:

Спочатку розкласти на прості множники обидва числа.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Тепер з множників, які входять до розкладання першого числа, викреслимо всі ті, які не входять до розкладання другого числа. У нашому випадку це дві двійки.

Залишаться множники 2, 2 і 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і буде найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36.

Ці правила можна поширити на випадок із трьома, чотирма і т.д. числами.

Загальна схема знаходження найбільшого спільного дільника

  1. Розкласти числа на прості множники.
  2. З множників, що входять до розкладання одногоз цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел.
  3. Порахувати твір множників, що залишилися.

Найменше загальне кратне (НОК)

Розглянемо рішення наступного завдання. Крок хлопчика становить 75 см, а крок дівчинки 60 см. Необхідно знайти найменшу відстань, на якій вони обидва зроблять за кількістю кроків.

Рішення. Весь шлях який пройдуть хлопці, повинен ділитися без залишку на 60 і на 70, тому що вони повинні зробити кожен ціле число кроків. Інакше кажучи, у відповіді має бути число, кратне як 75 і 60.

Спочатку виписуватимемо всі кратні числа, для числа 75.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Тепер знаходимо числа, які є в обох рядах. Загальними кратними чисел будуть числа, 300, 600 і т.д.

Найменше їх, це число 300. Воно у разі буде називатися найменшим загальним кратним чисел 75 і 60.

Найменшим загальним кратним (НОК) двох і більше натуральних чисел називається найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з цих чисел.

Стисло найменше загальне кратне чисел a і b записують так: НОК (a; b).

Приклад: НОК (6, 8) = 24

Повертаючись до умови завдання, найменша відстань, на якій хлопці зроблять цілу кількість кроків, буде 300 см. Хлопчик пройде цей шлях за 4 кроки, а дівчинці потрібно зробити 5 кроків.