Кант про апріорні поняття
Історія розвитку неевклідової геометрії
Ідеї Ламберта, розвинені їм у творі «теорія паралельних ліній» (1766 р.), близько примикають до міркувань Саккери.
Він розглядає чотирикутник із трьома прямими кутами. Щодо четвертого кута так само виникають три гіпотези: цей кут прямий, тупий чи гострий. Довівши еквівалентність п'ятого постулату гіпотезі прямого кута і звівши до суперечності гіпотезу тупого кута, Ламберт, подібно до Саккері, змушений займатися гіпотезою гострого кута. Вона наводить Ламберта до складної геометричної системи, у якій йому вдалося зустріти логічного протиріччя. Ламберт ніде у своєму творі не стверджує, що V постулат їм доведений, і приходить до твердого висновку, що всі інші спроби в цьому напрямку не привели до мети.
«Докази евклідова постулату, - пише Ламберт, - можуть бути доведені настільки далеко, що залишається, мабуть, мізерна дрібниця. Але при ретельному аналізі виявляється, що в цій дрібниці, що здається, і полягає вся суть питання; зазвичай вона містить або доводиться пропозицію, або рівносильний йому постулат ».
Більше того, розвиваючи систему гіпотези гострого кута, Ламберт виявляє аналогію цієї системи із сферичною геометрією і в цьому вбачає можливість її існування.
«Я схильний навіть думати, що третя гіпотеза справедлива на якійсь уявній сфері. Повинна бути причина, внаслідок якої вона на площині далеко не піддається спростуванню, як це легко може бути зроблено з другою гіпотезою».
Лежандр у своєму доказі п'ятого постулату розглядає три гіпотези щодо суми кутів трикутника.
1. Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим.
2. Сума кутів трикутника більша за дві прямі.
3.Сума кутів трикутника менша від двох прямих.
Він довів, що перша гіпотеза еквівалентна п'ятому постулату, друга гіпотеза неможлива; і прийнявши третю гіпотезу, приходить до суперечності, неявно скориставшись у доказі п'ятим постулатом через один з його еквівалентів.
Через війну проблема паралельних залишалася на початку ХІХ століття невирішеною і становище здавалося безвихідним. Великий знавець питання угорський математик Фаркаш Бояї 1820 року писав своєму синові Яношу: «Молю тебе, не роби тільки й ти спроб подолати теорію паралельних ліній: ти витратиш на це весь свій час, а пропозиції цього ви не доведете всі разом. Не намагайся здолати теорію паралельних ліній ні тим способом, який ти повідомляєш мені, ні якимось іншим. Я вивчив усі шляхи до кінця: я не зустрів жодної ідеї, якої б я не розробляв. Я пройшов увесь безпросвітний морок цієї ночі, і всякий світоч, будь-яку радість життя я в ньому поховав… Цей безпросвітний морок… ніколи не проясниться на землі, і ніколи нещасний рід людський не володітиме чимось досконалим навіть у геометрії. Це велика та вічна рана у моїй душі…». Безпросвітний морок, про який з гіркотою писав старший Бойяї, розсіяв Лобачевський і, трохи пізніше, Я. Бояї.
Кант про апріорні поняття
У той час багато математиків з натхненням сприйняли філософську теорію Іммануїла Канта про людське пізнання. У «Пролегоменах до будь-якої майбутньої метафізики, яка може з'явитися як наука» (1783) він писав: «Ми можемо з достовірністю сказати, що деякі чисті апріорні синтетичні знання є і нам дані, а саме чиста математика і чисте природознавство, тому що обидва містять положення , частиною аподиктично достовірні на основі одного тільки розуму, частиною ж на основізагальної згоди з досвіду і все-таки повсюдно визнані незалежними від досвіду».
«Критика чистого розуму» (1781) Канта починається ще більш обнадійливими словами. Кант стверджує, що це аксіоми і теореми математики істинні. Він каже, що наш розум сам собою володіє формами простору і часу. Простір і час є різновидом сприйняття (звані Кантом інтуїтивними уявленнями), з яких розум споглядає досвід. Ми сприймаємо, організуємо і усвідомлюємо досвід відповідно до цих форм споглядання розум накладає форми споглядання на отримані ним чуттєві сприйняття, змушуючи ті підлаштовуватися під закладені у ньому схеми. Так як інтуїтивне уявлення про простір бере свій початок у розумі, деякі властивості простору розум автоматично. Такі твердження, як «пряма – найкоротший шлях між двома точками», «через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж лише одну», або як постулат Евкліда про паралельні, Кант називає апріорними штучними істинами. Вони є невід'ємною частиною нашого розумового багажу. Геометрія займається вивченням лише логічних наслідків із таких тверджень. Вже одне те, що наш розум споглядає досвід через властиві йому «просторові структури», означає, що досвід узгоджується з апріорними синтетичними істинами і теоремами. Порядок та раціональність, які ми, як нам здається, сприймаємо у зовнішньому світі, насправді проектується на зовнішній світ нашим розумом та формами нашого мислення.
Конструюючи простір на основі роботи клітин головного мозку людини, кант не бачив причин для відмови від евклідового простору. Власну нездатність уявити інші геометрії Кант визнав достатнімпідставою стверджувати, що інші геометрії не можуть існувати.
Поява неевклідової геометрії
І однією з передумов геометричних відкриттів М. І. Лобачевського (1792-1856) був саме його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевський Він був твердо впевнений в об'єктивному і незалежному від людської свідомості існуванні матеріального світу й у можливості його пізнання. У промові «Про найважливіші предмети виховання» (Казань, 1828) Лобачевський співчутливо наводить слова Ф. Бекона: «залиште працювати даремно, намагаючись витягти з розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає всі істини і на всі ваші запитання відповідатиме вам неодмінно і задовільно». У своєму творі «Про засади геометрії», що є першою публікацією відкритої ним геометрії, Лобачевський писав: «перші поняття, з яких починається якась наука, повинні бути зрозумілі та приведені до найменшого числа. Тоді тільки вони можуть бути міцною і достатньою основою вчення. Такі поняття набувають почуттів; уродженим – не повинно вірити». Тим самим Лобачевський відкидав ідею про апріорний характер геометричних понять, що підтримувалась І. Кантом.