Класифікація елементарних функцій
Навіщо потрібно класифікувати елементарні функції?
Відповідь дуже проста: кожному класу функцій відповідає певний набір властивостей. Деякі функції нескінченне число разів диференційовані на будь-якому проміжку, деякі безперервні, інші ортогональні з вагою і т.д. і т.п.
Погодьтеся, коли всі книги розкладені по-полочкам за певними тематиками, досить просто знайти потрібну.
Визначення елементарної функції.
Функції, які можуть бути отримані з основних елементарних функцій за допомогою арифметичних дій (складення, віднімання, множення, поділ) та утворення складних функцій, називаються елементарними функціями.
Прикладом може бути функція
Дуже зручнокласифікацію елементарних функцій подати у вигляді таблиці.
Елементарні функції поділяються наалгебраїчнітатрансцендентні.
Визначення алгебраїчних функцій.
Алгебраїчниминазивають функції, складені з літер і цифр, з'єднаних знаками дій додавання, множення, віднімання, розподіл, зведення в цілий ступінь та вилучення кореня.
Іншими словами: алгебраїчними називають елементарні функції, які можуть бути отримані з двох основних функційf(x)=xтаf(x)=1за допомогою будь-якого числа послідовно виконаних алгебраїчних дій (складення, множення, віднімання, розподіл, зведення в цілу ступінь, вилучення кореня) та множення на числові коефіцієнти.
Наприклад, функція є алгебраїчною.
Визначення трансцендентної функції.
Трансцендентниминазивають елементарні функції, які є алгебраїчними. (Тобто вони утворені за допомогою зведення в ірраціональнуступінь, логарифмування, з використанням тригонометричних та зворотних тригонометричних операцій).
Наприклад, - трансцендентна функція.
Алгебраїчні функції поділяються нараціональнііірраціональні.
Раціональні функції поділяються націлі раціональні функції (багаточлени)ідрібні раціональні (відношення многочленів).
Приклад цілої оптимальної функції: .
Приклад дробово-раціональної функції: .
Раціональні функції можуть містити ірраціональні коефіцієнти (головне, щоб під знаком радикала не було аргументу функції). Наприклад, - ціла раціональна функція, а чи не ірраціональна.
Визначення ірраціональної функції.
Ірраціональниминазиваються алгебраїчні функції, що містять аргумент під знаком радикала (кореня).
Прикладом може бути функція.
Якщо вид функції можна спростити по всій області визначення, класифікації підлягає саме спрощена функція.
Наприклад, - не ірраціональна функція, а раціональна, оскільки;
- не трансцендентна функція, а раціональна алгебраїчна, оскільки .