Класифікація кривих другого порядку
Крива другого порядку називаєтьсяневиродженою, якщо можуть виникати наступні варіанти:
- Невироджена крива другого порядку називається центральною, якщо
- еліпс - за умовиD> 0 і ΔI2 = 4Dабоa11 =a22,a12 = 0;
Діаметри та центр кривої другого порядку
Діаметромкривою другого порядку називається геометричне місце середин паралельних хорд цієї кривої. Отриманий таким чином діаметр називаєтьсяпов'язанимцим хордам або їх напрямку. Діаметр, сполучений хордам, що утворюють кут θ з позитивним напрямом осіOx, визначається рівнянням:
Якщо виконується умова, то всі діаметри кривої перетинаються в одній точці —центрі, а сама крива називаєтьсяцентральною. В іншому випадку (D= 0) всі діаметри кривої або паралельні, або збігаються.
Координати центру визначаються системою рівнянь:
Вирішуючи цю систему щодоx0 іy0, отримаємо:
Якщо крива центральна, то перенесення початку координат до її центру приводить рівняння до виду
де координати щодо нової системи.
Головні осі та вершини кривої другого порядку
Головною віссюкривою другого порядку називається її діаметр, перпендикулярний до сполучених до них хордів. Цей діаметр є віссю симетрії кривої. Кожна центральна крива має дві взаємно перпендикулярні осі, або всі діаметри є головними осями. В останньому випадку крива єколо. Нецентральні криві мають лише одну головну вісь. Точки перетину головної осі з кривою називаються їївершинами.
Напрямні косинуси нормалей до головних осей задовольняють рівнянь
де λ - відмінний від нуля корінь характеристичного рівняння. Напрями головних осей і сполучених ним хорд називаються головними напрямками кривою. Кут між позитивним напрямом осіOxі кожним із двох головних напрямів визначається формулою
З усіх видів кривих другого порядку лише коло має невизначені основні напрями.
Загальне рівняння в матричному вигляді
Загальне рівняння кривої можна записати у матричному вигляді
Введенням нової системи координат можна привести до рівняння кривих другого порядку до стандартного канонічного виду (див. таблицю). Параметри канонічних рівнянь дуже просто виражаються через інваріанти і коріння характеристичного рівняння (див. розділ «Характеристична квадратична форма та характеристичне рівняння»).
| Вид кривої | Канонічне рівняння | Інваріанти |
| Невироджені криві ( ) | ||
| Еліпс | ||
| Гіперболу | ||
| Парабола | ||
| Вироджені криві (Δ=0) | ||
| Крапка | ||
| Дві прямі, що перетинаються | ||
| Дві паралельні прямі | ||
| Одна пряма | x2 = 0 |
Для центральної кривої у канонічному вигляді її центр знаходиться на початку координат.
Канонічне рівняння будь-якої невиродженої кривої другого порядку придопомогою відповідного перетворення початку координат може бути приведено до виду
У цьому випадку крива проходить через початок нової системи координат, а вісьOxє віссю симетрії кривої. Дане рівняння виражає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет)від даної точки(фокуса> )і від цієї прямої(директриси)постійно. Крім того, при кривій є колом, при - еліпсом, при - параболою, при - гіперболою.
Рівняння директриси кривої виражається рівнянням координати фокусу Директриса перпендикулярна осі симетрії, що проходить через фокус і вершину кривої (фокальна вісь). Відстань між фокусом і директрисою дорівнює
Якщо крива другого порядку центральна (еліпс чи гіпербола), то пряма
є віссю симетрії і, отже, крива має два фокуси та дві директорки.
Параметрpназиваєтьсяфокальним параметромі дорівнює половині довжини хорди, що проходить через фокус і перпендикулярна до фокальної осі (фокальна хорда).
Якщо взяти як полюс полярної системи координат фокус невиродженої кривої другого порядку, а як полярна вісь — її вісь симетрії, то в полярних координатах ρ, φ рівняння кривої матиме вигляд