Концепція та інструментарій оцінки вартості грошей у часі
Концепція вартості грошей у часі полягає в тому, що вартість грошей з часом змінюється з урахуванням норми прибутку на фінансовому ринку, якою зазвичай виступає норма позичкового відсотка (або відсотка). Іншими словами, відповідно до цієї концепції одна й та сама сума грошей у різні періоди часу має різну вартість; ця вартість в даний час завжди вища, ніж у будь-якому майбутньому періоді.
Концепція вартості грошей у часі грає основну роль практиці фінансових обчислень. Вона визначає необхідність урахування фактора часу у процесі здійснення будь-яких довгострокових фінансових операцій шляхом оцінки та порівняння вартості грошей на початку фінансування з вартістю грошей при їх поверненні у вигляді майбутнього прибутку, амортизаційних відрахувань, основної суми боргу тощо.
У процесі порівняння вартості грошових коштів при плануванні їх потоків у тривалому періоді часу використовується два основні поняття - майбутня вартість грошей або їхня реальна вартість.
Майбутня вартість грошей є сумою інвестованих на даний момент коштів, на яку вони перетворяться через певний період часу з урахуванням певної ставки відсотка (відсоткової ставки). Визначення майбутньої вартості грошей характеризує процес нарощення їх вартості (компаундинг), який полягає у приєднанні до їхньої початкової суми нарахованої суми відсотків.
Реальна вартість грошей є сумою майбутніх коштів, наведеною з урахуванням певної ставки відсотка до цього періоду часу. Визначення справжньої вартості грошей характеризує процес дисконтування їхньої вартості, який представляє операцію, зворотну нарощенню, що здійснюється шляхом вилучення з майбутньої вартостівідповідної суми відсотків (дисконтної суми чи «дисконту»).
При проведенні фінансових обчислень, пов'язаних з оцінкою вартості грошей у часі, процеси нарощення або дисконтування вартості можуть здійснюватися як за простими, так і за складними відсотками.
Простий відсоток являє собою суму доходу, що нараховується до основної суми грошового капіталу в кожному інтервалі загального періоду його використання, за якою її подальші перерахунки не здійснюються. Нарахування простого відсотка застосовується зазвичай при короткострокових фінансових операціях.
Складний відсоток є сумою доходу, що нараховується в кожному інтервалі загального періоду його використання, яка не виплачується, а приєднується до основної суми грошового інтервалу і в подальшому платіжному інтервалі сама приносить дохід. Нарахування складного відсотка застосовується, як правило, за довгострокових фінансових операцій (інвестування, кредитування тощо)
Розрахунки суми відсотка можуть здійснюватись як на початку, так і наприкінці кожного інтервалу загального періоду часу. Відповідно до цього, методи нарахування відсотка поділяють на попередній і наступний.
Попередній метод нарахування відсотка (метод пренумерандо або антисипативний метод) характеризує спосіб розрахунку платежів, у якому нарахування відсотка здійснюється на початку кожного інтервалу.
Наступний метод нарахування відсотка (метод постнумерандо чи декурсивний метод) характеризує спосіб платежів, у якому нарахування відсотка здійснюється наприкінці кожного інтервалу.
Платежі, пов'язані з виплатою суми відсотка та поверненням основної суми боргу є одним із видів грошового потоку, що підрозділяється на дискретний і безперервний .
Дискретнийгрошовий потік характеризує потік платежів на вкладений грошовий капітал, який має чітко детермінований період нарахування відсотків та кінцевий термін повернення його основної суми.
Безперервний грошовий потік характеризує потік платежів на вкладений грошовий капітал, період нарахування відсотків за яким не обмежений, а відповідно не визначено і кінцевий термін повернення його основної суми. Одним з найпоширеніших видів безперервного грошового потоку є ануїтет (фінансова рента) - тривалий потік платежів, що характеризується однаковим рівнем процентних ставок у кожному з інтервалів періоду часу, що розглядається.
Основним інструментом оцінки вартості грошей у часі є процентна ставка (ставка відсотка) — питомий показник, відповідно до якого у встановлені терміни виплачується сума відсотка для одиницю грошового капіталу. Зазвичай процентна ставка характеризує співвідношення річної суми відсотка та суми наданого (запозиченого) грошового капіталу (виражене у десятковому дробі або у відсотках). Це поняття відрізняється різноманіттям конкретних його видів, які у практиці фінансових обчислень.
Оцінка вартості грошей за простими відсотками використовує найбільш спрощену систему розрахункових алгоритмів.
1. При розрахунку суми простого відсотка у процесі нарощення вартості (компаундингу) використовується така формула:
де I - сума відсотка за обумовлений період часу в цілому; Р - первісна сума (вартість) коштів; n - кількість інтервалів, за якими здійснюється розрахунок процентних платежів, у загальному обумовленому періоді часу; i — процентна ставка, що використовується, виражена десятковим дробом.
У цьому випадку майбутня вартість вкладу (S) з урахуванням нарахованої суми відсотка визначається за формулою:
S = P + I = P * (1 + n * i)
Приклад. Необхідно визначити суму простого відсотка за рік за наступних умов: первісна сума вкладу – 1000 УЄ; процентна ставка, що виплачується щокварталу, — 20%.
Підставляючи ці значення формулу, отримаємо суму відсотка: I = 1000 * 4 * 0,2 = 800 УЕ;
Майбутня вартість вкладу в цьому випадку становитиме: S = 1000 + 800 = 1800 УЄ.
2. При розрахунку суми простого відсотка у процесі дисконтування вартості (тобто суми дисконту) використовується така формула:
D = S - S * [(1 / (1 + n * i)]
де D - сума дисконту (розрахована за простими відсотками) за обумовлений період часу в цілому; S - вартість коштів; n - кількість інтервалів, за якими здійснюється розрахунок процентних платежів, у загальному обумовленому періоді часу; i — дисконтна ставка, що використовується, виражена десятковим дробом.
Оцінка вартості грошей за складними відсотками використовує більш широку та більш ускладнену систему розрахункових алгоритмів.
1. При розрахунку майбутньої суми вкладу (вартості коштів) у процесі його нарощення за складними відсотками використовується така формула:
де Sc - майбутня вартість вкладу (грошових коштів) при його нарощенні за складними відсотками; Р - первісна сума вкладу; i — процентна ставка, що використовується, виражена десятковим дробом; n — кількість інтервалів, якими здійснюється кожен відсотковий платіж, у загальному обумовленому періоді часу.
Відповідно сума відсотка ( Ic ) у разі визначається по формуле:
Приклад. Необхідно визначити майбутню вартість вкладу та суму складного відсотка за весь період інвестування за таких умов:первісна вартість вкладу - 1000 УЄ; процентна ставка, яка використовується при розрахунку суми складного відсотка, встановлена у розмірі 20% на квартал; загальний період інвестування – один рік.
Підставляючи ці показники у наведені вище формули, отримаємо:
Sc = 1000*(1 + 0,2) 4 = 2074 УЄ; Ic = 2074 – 1000 = 1074 УЄ.
2. При розрахунку реальної вартості коштів у процесі дисконтування за складними відсотками використовується така формула:
де Рс - первісна сума вкладу; S - майбутня вартість вкладу при його нарощенні, зумовлена умовами інвестування; i — дисконтна ставка, що використовується, виражена десятковим дробом; n — кількість інтервалів, якими здійснюється кожен відсотковий платіж, у загальному обумовленому періоді часу.
Відповідно сума дисконту ( Dc ) у разі визначається по формуле:
При оцінці вартості грошей у часі за складними відсотками необхідно мати на увазі, що на результат оцінки впливає не тільки використовувана ставка відсотка, а й кількість інтервалів виплат протягом одного і того ж загального платіжного періоду. Іноді виявляється вигіднішим інвестувати гроші під меншу ставку відсотка, але з великою кількістю інтервалів протягом передбаченого періоду платежу.
Оцінка вартості грошей при ануїтеті пов'язана з використанням найскладніших алгоритмів та визначенням методу нарахування відсотка — попереднім (пренумерандо) або наступним (постнумерандо).
1. При розрахунку майбутньої вартості ануїтету за умов попередніх платежів (пренумерандо) використовується така формула:
де SApre - майбутня вартість ануїтету, що здійснюється на умовах попередніх платежів (пренумерандо); R - член ануїтету, що характеризує розмірокремого платежу; i — процентна ставка, що використовується, виражена десятковим дробом; n — кількість інтервалів, якими здійснюється кожен платіж, у загальному обумовленому періоді часу.
Приклад. Необхідно розрахувати майбутню вартість ануїтету, що здійснюється на умовах попередніх платежів (пренумерандо), за наступних даних: період платежів за ануїтетом передбачений у кількості 5 років; інтервал платежів за ануїтетом становить один рік (платежі вносяться на початку року); сума кожного окремого платежу (члена ануїтету) становить 1000 УЄ; відсоткова ставка, що використовується для нарощення вартості, становить 10% на рік (0,1).
Підставляючи ці значення наведену формулу, отримаємо:
2. При розрахунку майбутньої вартості ануїтету, що здійснюється на умовах наступних платежів (постнумерандо), застосовується така формула:
Приклад. Необхідно розрахувати майбутню вартість ануїтету, що здійснюється на умовах наступних платежів (постнумерандо), за даними, викладеними у попередньому прикладі (за умови внеску платежів наприкінці року).
Підставляючи ці дані у наведену формулу, отримаємо:
Зіставлення результатів розрахунку за двома прикладами показує, що майбутня вартість ануїтету, здійснюваного за умов попередніх платежів, значно перевищує майбутню вартість ануїтету, здійснюваного за умов наступних платежів, тобто. у першому випадку платнику забезпечено набагато більшу суму доходу.
3. При розрахунку цієї вартості ануїтету, здійснюваного за умов попередніх платежів (пренумерандо), використовується така формула:
4. При розрахунку цієї вартості ануїтету, здійснюваного за умов наступних платежів (постнумерандо), застосовується така формула:
5.При розрахунку розміру окремого платежу за заданої майбутньої вартості ануїтету використовується така формула:
6. При розрахунку розміру окремого платежу за заданої поточної вартості ануїтету використовується така формула:
У процесі розрахунку ануїтету можливе використання спрощених формул, основу яких становить лише член ануїтету (розмір окремого платежу) та відповідний стандартний множник (коефіцієнт) його нарощення чи дисконтування.
У цьому випадку формула для визначення майбутньої вартості ануїтету (що здійснюється на умовах наступних платежів), має вигляд:
де IA - множник нарощення вартості ануїтету, що визначається за спеціальними таблицями, з урахуванням прийнятої процентної ставки та кількості інтервалів у періоді платежів.
Відповідно, формула для визначення справжньої вартості ануїтету має вигляд:
де DA — дисконтний множник ануїтету, що визначається за спеціальними таблицями, з урахуванням прийнятої процентної (дисконтної) ставки та кількості інтервалів у періоді платежів.
Використання стандартних множників (коефіцієнтів) нарощення та дисконтування вартості суттєво прискорює та полегшує процес оцінки вартості грошей у часі.