Кон’юнкція та диз’юнкція висловлювальних форм
У математиці розглядають як кон'юнкцію і диз'юнкцію висловлювань, а й виконують відповідні операції над висловлювальними формами.
Кон'юнкцію одномісних висловлювальних форм А(х) і В(х), заданих на множині Х, позначають А(х) В(х). З появою цієї пропозиції виникає питання, як знайти її безліч істинності, знаючи безлічі істинності висловлювальних форм А(х) та В(х). Інакше кажучи, за яких значеннях з області визначення Х висловлювальна форма А(х)ÙВ(х) звертається до справжнє висловлювання? Очевидно, що це можливо при тих і тільки тих значеннях х, при яких звертаються до справжнього висловлювання обидві висловлювальні форми А(х) та В(х). Якщо позначити ТА – безліч істинності пропозиції А(х), ТБ – безліч істинності пропозиції В(х), а безліч істинності їхньої кон'юнкції ТА˄В, то, очевидно, ТА˄В = ТА ТВ.
Доведемо цю рівність.
1. Нехай а - довільний елемент множини Х і відомо, що а ∈ ТА˄В. За визначенням безлічі істинності це означає, що висловлювальна форма А(х) В(х) звертається в істинне висловлювання при х = а, тобто. висловлювання А(х) В(х) істинно. Оскільки це висловлювання кон'юнкція, то, за визначенням кон'юнкції, отримуємо, що з висловлювань А(а) і В(а) також істинно. Це означає, що а ∈ТА та а ∈ ТВ. Отже, за визначенням перетину множин, а ∈ ТА ТВ. Таким чином, ми показали, що ТА˄В∈ТА ТВ.
2. Доведемо зворотне твердження. Нехай а – довільний елемент множини Х і відомо, що а ∈ ТА ТВ. За визначенням перетину множин це означає, що а ∈ ТА і а ∈ ТБ, звідки отримуємо, що А(х) і В(х) – справжні висловлювання, тому кон'юнкція висловлювань А(х) В(х) також буде істинною. А це означає, що елемент належить безлічі істинностівисловної форми А(х) В(х), тобто. а ∈ ТА˄В. Таким чином ми довели, що ТА ТВ ∈ ТА˄В.
З 1 і 2 в силу визначення рівних множин випливає справедливість рівності ТА В = ТА ТВ, що і потрібно довести.
Зауважимо, що одержане правило справедливе і для висловлювальних форм, що містять більше однієї змінної.
Наведемо приклад використання цього правила. Знайдемо безліч істинності кон'юнкції двох нерівностей 2х. 10 і 4+х 10 ˄ 4+х 10, а Т2 – безліч розв'язків нерівності 4+х
Розглядаючи кон'юнкцію та диз'юнкцію висловлювальних форм, ми встановили їхній тісний зв'язок із перетином та об'єднанням множин.
З іншого боку, характеристичні властивості елементів перетину та об'єднання множин А і В є відповідно кон'юнкцією та диз'юнкцією характеристичних властивостей даних множин:
А B = , А B = , причому кожна властивість є висловлювальною формою.
Вправи
1. Покажіть, що, виконуючи такі завдання, ми бачимо безліч істинності кон'юнкції і диз'юнкції висловлювальних форм:
а) Дано числа: 31,53,409,348,20,3094,233,33,271,143,3,333,14,30.
Випишіть усі числа, у записі яких:
1) три цифри та є цифра 3;
2) три цифри чи є цифра 3.
б) З ряду 25, 12, 17, 5, 15, 36 випишіть ті числа, які:
1) двоцифрові або менше 17;
2) двозначні та менше 17.
в) З ряду 72,312,522,483,1137 випишіть ті числа, які:
1) діляться на 3 та 9;
2) діляться на 3 чи 9.
2. Виконайте такі завдання та дайте обґрунтування запропонованим відповідям:
а) Побудуйте по два трикутники, що належать множині А, якщо воно складається з:
1) прямокутних та рівнобедренихтрикутників;
2) прямокутних чи рівнобедрених трикутників.
б) Побудуйте два чотирикутники, у яких:
1) діагоналі рівні та є прямий кут;
2) діагоналі рівні чи є прямий кут.
в) Запишіть три числа, які:
1) діляться на 4 та більше 12;
2) діляться на 4 чи 12.
3. Розв'яжіть такі системи нерівностей і поясніть, що є будь-яка система нерівностей і безліч її рішень з погляду логіки:
а)
б)
4. Розв'яжіть рівняння (х-3)×(х+2) ×(х-7)=0, х ∈ R. Чи використовувалося вами поняття диз'юнкції висловлювальних форм?
5. Замість крапки вставте «і» або «або»:
а) х ∈ A B тоді і лише тоді, коли х ∈ A …х ∈ В.
б) х ∈ A B тоді і лише тоді, коли х ∈ A …х ∈ В.
6. Нехай А – безліч ромбів, В – безліч прямокутників. Як називається чотирикутник, що є одночасно ромбом та прямокутником? Як можна виразити множину До таких чотирикутників через множини А і В?