Квадратні рівняння давнини
Рівняння другого ступеня вміли вирішувати ще у стародавньому Вавилоні. Математики Стародавню Грецію вирішували квадратні рівняння геометрично; наприклад, Евклід - за допомогою розподілу відрізка в середньому та крайньому відносинах. Завдання, що призводять до квадратних рівнянь, розглядаються у багатьох давніх математичних рукописах та трактах.
Висновок формули розв'язання квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.
Квадратні рівняння у стародавньому Вавилоні
У математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних пластинках, є квадратні та біквадратні рівняння, системи рівнянь із двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавилоняни також не використовували букв, а наводили розв'язання «типових» завдань, з яких розв'язання аналогічних завдань виходило заміною числових даних.
Необхідність вирішувати квадратні рівняння виникла ще в давнину і була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н. вавилоняни. Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються крім неповних квадратних рівнянь і повні рівняння. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні текстинаводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа та загальне методи розв'язання квадратних рівнянь.
Квадратні рівняння у ал-Хорезмі
В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь.
Основна ідея для ал-Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-Джабр та ал-Мукабала. Його рішення, звісно, не збігається повністю із сучасним рішенням. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезмі, як і всі математики до XVII століття. Завдання воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.
Квадратні рівняння у Європі 13-17в.
Формули розв'язання квадратних рівнянь на зразок ал-Хорезмі у Європі вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших.країнах Європи. Багато завдань із «Книги абака» переходили майже до всіх європейських підручників XVI-XVII ст. та частково XVIII ст.
Квадратні рівняння в Індії
Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «АРІАБХАТТІАМ», складеному в 499р. індійським математиком та астрономом АРІБХАТТОЮ. Інший індійський учений, БРАХМАГУПТА VII століття, виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної форми. У рівнянні коефіцієнти, крім позитивних, можуть бути негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з сучасним рішенням. У давній ІНДІЇ були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступні: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри»