Квантові групи Лемма 5
Лемма 5.4.3. Нехай v - старший вектор ваги X. Для р є Z + покладемо Vp = (1 / p \) Ypv. Тоді
Hvp = (A - 2p)vp, Xvp = (Ар + 1) Vp-I1 Yvp = (p + l)vp+i.
Доведення. Третє співвідношення тривіальне; перші два виходять із леми 3.1. ?
Тепер ми наведемо теорему, що описує прості кінцеві
Теорема 5.4.4. (а) Нехай V - кінцевомірний U-модуль, що породжується старшим вектором v ваги А. Тоді
(i) А - ціле число, що дорівнює dim(F) - 1.
(ii) Поклавши vp = (1 /p\)Ypv, матимемо vv = 0 для р > X, крім того, безліч (г) = vq,v\. ,г;д> є базисом простору V.
(iii) Дія H на V діагоналізується і має (А+1) різних власних значень.
(iv) Будь-який інший старший вектор V колінеарен вектору v і має вагу X.
(v) Модуль V простий.
(б) Будь-який простий кінцевий U-модуль породжується старшим вектором. Два кінцеві U-модулі, породжені старшими векторами однакової ваги, ізоморфні. 5.4. Уявлення sl(2)
Доказ, (а) Згідно з лемою 4.3 послідовність p^о складається із власних векторів оператора Я, що відповідають різним власним значенням. Оскільки простір V є кінцевим, має існувати таке п, що Vn ф 0, vn+\ = 0. Формули з леми 4.3 показують, що vm = 0 для всіх т > п, і vm ф 0 всім т ^ п. Ми маємо п = А, оскільки за лемі 4.3 0 = Xvn+\ = (А — n)vn. Сімейство лінійно незалежно, оскільки воно складається з власних ненульових векторів оператора H з різними власними значеннями. Воно також породжує V: дійсно, формул леми 4.3 видно, що будь-який елемент модуля V, породженого вектором V, є лінійною комбінацією векторів з сімейства і. Звідси випливає, що dim(F) =А+1. Ми, таким чином, довели пункти (і) та (ii). Твердження (iii) також є наслідком леми 4.3.
(iv) Нехай v '- Інший старший вектор. Він власний для оператора Я; отже, він колінеарен одному з векторів Vi- Але, знову по лемі 4.3, вектор Vi вбивається оператором X тоді і тільки тоді, коли і = 0.
(v) Нехай V - ненульовий кінцевомірний [/-підмодуль V, і нехай v '- старший вектор V'. Тоді v' є старшим вектором для V. З (iv) v' ненульовий і коллінеарен v. Отже, V належить V '. Оскільки v породжує V, ми повинні мати V З V', звідки модуль V простий.
(б) Нехай V - старший вектор модуля V; якщо V простий, то підмодуль, породжений вектором v неминуче збігається з V. Отже, V породжується старшим вектором.
Якщо модулі VnV породжуються старшими векторами v і v' відповідно з однією і тією ж вагою А, то лінійне відображення, що відправляє vi v11 для всіх г, є ізоморфізмом U-модулів. ?
З точністю до ізоморфізму прості U-модулі класифікуються невід'ємними цілими числами: для цього цілого n ^ 0 існує, і до того ж єдиний (з точністю до ізоморфізму), простий U-модуль розмірності n + 1, породжений старшим вектором ваги п. Ми позначаємо цей модуль через V(n), а відповідний гомоморфізм алгебр Лі через р(п): sl(2) -> g[(n+1).
Наприклад, маємо K(O) = до і р(0) = 0, що означає, що модуль F(O) тривіальний, як і будь-який модуль розмірності 1. У загальному випадку 132
Глава 5. Алгебра JIu алгебри SL(2)
будь-який тривіальний U-модуль ізоморфний прямій сумі кількох копій V(O).
Зауважимо, що гомоморфізм р(1): sl(2) — gt(2) збігається з природним вкладенням sl(2) у fll(2), і що модуль V(2) ізоморфний просторуприєднаного уявлення sl(2) за допомогою відображення, що посилає вектор старшої ваги Vq X, y - в -Н і V2 - в У.
Що стосується модулів V(n) більшої розмірності, то утворюють X, Y і H діють операторами, що мають наступні матриці в базисі • • • , Vn>