Лабораторна робота 10
ЧИСЛОВЕ РІШЕННЯ СТАЦІОНАРНИХ І НЕСТАЦІОНАРНИХ
Звітз лабораторної роботи повинен містити такі матеріали з кожного завдання: 1) постановка задачі; 2) необхідний теоретичний матеріал; 3)тестовийприклад та результати обчислювального експерименту з тесту (якщо необхідно); 4) отримані результати та їх аналіз; 5) графічний матеріал (якщо потрібно); 6) тексти програм.
Варіанти завдань до завдань 10.1-10.6 подані вДОДАТКУ 10.A.
Фрагмент розв'язання задачі 10.1 дано вДОДАТКУ 10.B.
Завдання 10.1.Промоделювати стаціонарні процеси теплопровідності стрижня в залежності від вхідних даних задачі:
ПОРЯДОК РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ:
2. При заданих в індивідуальному варіанті функціяхk(x) (що відповідаєK(x,1)),f(x)і значенняхUA,UBзнайти аналітичне рішення задачі символьно (див.ДОДАТКИ 10.Bта10.С).
3. Змінюючи значення параметразу коефіцієнті теплопровідності, знайти рішення задачі для наборів параметрів 1-3 (див. таблицю нижче).
4. На одному кресленні побудувати графіки знайдених рішень. Порівняти отримані результати.
5. Аналогічно п.2, знайти аналітичне рішення для набору параметрів 4. На одному кресленні побудувати графіки рішень для наборів 1 і 4. Порівняти отримані результати.
6. Змінюючи граничні умовиUA,UB, побудувати рішення для наборів параметрів 5-7.
Таблиця наборів параметрів
Завдання 10.2. Знайти наближене рішення крайової задачі методом кінцевих різниць:
c заданою точністю та побудувати його графік.
ПОРЯДОК РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ:
1. Скласти різницеву схему другого порядку точності та виписатикоефіцієнти матриці системи рівнянь та коефіцієнти правої частини.
2. Підготувати тестовий приклад та провести розрахунок для нього. Побудувати на одному кресленні графіки наближеного та точного рішень для тестового прикладу. Після перевірки правильності роботи програми перейти до вирішення основного завдання.
3. Для обчислення рішення задачі із заданою точністю зробити розрахунок з початковим крокомh, потім зменшити крок удвічі. Вивести на екран два сусідні наближені рішення та порівняти результати. Якщо заданої точності не досягнуто, то продовжити зменшення кроку.
4. Побудувати графік знайденого рішення та вказати крок, у якому задана точність досягається.
Завдання 10.3.Методом кінцевих різниць знайти наближене рішення зазначеної в індивідуальному варіанті крайової задачі з точністю та побудувати його графік. Рішення системи різницевих рівнянь знайти, використовуючи метод прогонки.
1. Використовувати різницеву схему другого порядку точності. Для апроксимації похідних у граничних умовах скористатися різницевими відносинами:
та .
2. Організувати компактне зберігання ненульових елементів тридіагональної матриці системи різницевих рівнянь.
3. Підготувати самостійно тестовий приклад та провести розрахунок для нього. Побудувати одному кресленні графіки наближеного і точного рішень для тестового прикладу. Після перевірки правильності роботи програми перейти до вирішення основного завдання.
Завдання 10.4.Промоделювати стаціонарні процеси теплопровідності стрижня залежно від вхідних даних завдання – змінного коефіцієнта теплопровідностіk(x)та щільності джерел теплаf(x):
ПОРЯДОК РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ:
Скласти різницеву схему другого порядку точності для вирішеннязазначеного завдання.
Взяти вихідні дані з 1-го набору параметрів для задачі 10.1.Крок сітки покласти рівним.
3. Промоделювати процес теплопровідності залежно від коефіцієнтаk(x):
3.1. Нехай стрижень складається з 2-х матеріалів з різними властивостями:
a)k1 >k2.
3.2. Нехай стрижень складається з 3-х матеріалів з різними властивостями:
4. Промоделювати процес теплопровідності залежно від правої частини – функціїf(x),припускаючи, щоf(x)- точкове джерело тепла. Задати точкове джерело тепла можна так: , де- деяка константа (потужність джерела),- дельта-функція,- точка з відрізка [a,b], у якому ставиться джерело.
Розглянути такі варіанти розташування джерела:
а) точкове джерело поставлено в середину відрізка [a,b];
б) два однакові за потужністю джерела поставлені в різні точки
відрізка, симетричні щодо середини відрізка;
в) два різні за потужністю джерела поставлені симетрично;
г) запропонувати свій варіант розташування джерел.
Завдання 10.5.Методом кінцевих різниць знайти наближене рішення крайового завдання
з трьома вірними цифрами. Рішення системи різницевих рівнянь знайти, використовуючи метод прогонки.
1. Використовувати різницеву схему другого порядку точності.
2. При апроксимації похідних у граничних умовах використовувати метод балансу.
Завдання 10.6.Промоделювати нестаціонарні процеси теплопровідності залежно від вхідних даних завдання - коефіцієнта теплопровідностіk(x)та початкової температури:
ПОРЯДОК РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ:
Знайти наближене розв'язання задачі з кроками іh=0.1,використовуючи
явну різницеву схему. Побудувати графіки рішень при значеннях
t= 0.5, 10, 20.
2. Використовуючи результати задачі 10.1, експериментально визначити момент часуt, у якому відбувається встановлення процесу (візуально).
3. Здійснити анімацію процесу встановлення.
4. Дослідити, як впливає початкова температура на процес встановлення, взявши інші функції (узгоджені з граничними умовами).
Для створення анімаційного кліпу потрібно:
- вибрати пункт менюAnimate, - укласти в пунктирний прямокутник, що виділяє, поле графіка,
який потрібно анімувати,
- у діалоговому вікні встановити значення змінноїFRAME, наприклад,10,
- натиснути кнопкуCreate(абоAnimate), - відтворити анімацію.