Латинські та греко-латинські квадрати
Розглянемо трифакторний експеримент при однаковій кількості рівнів Р. Прямий перебір рівнів вимагатиме N=P 3 дослідів. Число дослідів можна скоротити, якщо скористатися ДФЕ за схемою латинського квадрата.
Латинськими квадратом називається таблиця, в якій міститься Р стовпців і Р рядків і кожен елемент присутній лише один раз, як у стовпці, так і в рядку.
Наприклад, застосування другої матриці для трифакторного експерименту дасть нам наступну матрицю планування:
Чинник Х1 має рівні: А1, А2, А3; Х2-В1, В2, В3; Х3-С1, С2, С3. Номери елементів за стовпцями та рядками відповідають рівням 1-го та 2-го факторів, а третій обраний за латинськими літерами квадрата. За факторами X1 і Х2 здійснено повний перебір рівнів (ПФЕ). Далі до кожного поєднання цих факторів додано третій X3 на рівні, обраному відповідно до латинського квадрата. Усього потрібно 3*3=9 дослідів, що значно дешевше за ПФЕ (3 3 =27 дослідів).
Для чотирьох факторів хороші властивості мають плани, побудовані за схемою греко-латинського квадрата. Греко-латинським квадратом називається матриця, що має Р рядків і Р стовпців і складена з здвоєних елементів, кожен з яких по одному разу представлений у кожному рядку та кожному стовпці. Наприклад, при P=3 маємо
Складемо план експерименту за схемою греко-латинського квадрата чотирьох чинників. Фактор Х1 має рівні:
За факторами Х1 і X2 здійснено повний перебір рівнів. Рівні факторів Х3 та Х4 обрані за буквами греко-латинського квадрата. Загальна кількість досвідів 3*3=9 замість 3 4 =81. У греко-латинському квадраті є Р 2 різних комбінацій рівнів замість Р 4 ПФЕ. Тому греко-латинські квадрати є 1/Р 2 репліку ПФЕ.0
Якщо накласти один на одного три ортогональнілатинських квадратів, то отримаємо латинський квадрат третього порядку. Він називається гіпергреко-латинським квадратом. Наприклад, гіперквадрат 4x4 з п'ятьма факторами:
Таким чином, при Р рівнях план можна ввести k+1 фактор. Гіпергреко-латинські квадрати є 1/Р 3 репліку ПФЕ. Такі зазвичай застосовують на перших стадіях дослідження процесу, коли доводиться проводити складний перебір якісних та кількісних факторів, щоб виділити найбільш перспективні. За принципом латинських та греко-латинських квадратів можна побудувати латинські та греко-латинські куби. Однак на практиці такі плани при Р&3 застосовуються рідко через велику кількість дослідів.
На основі латинських квадратів розроблено збалансовані та незбалансовані плани, що дозволяють економніше організувати експеримент. Збалансованими планами називаються такі, у яких у кожному рядку та кожному стовпці однакові рівні зустрічаються однакове число разів.
Плани також можуть бути повноблоковими та неповноблочними. Повноблочними називаються такі плани, у яких досліди проводять у всіх точках плану. У неповноблокових планах частина дослідів пропускається. Прикладом незбалансованих та неповноблочних планів є квадрати Юдену.