лекції - LECT-8n
Гідродинаміка стисливої рідини
За визначенням рідина називається стисливою, якщо під час руху зберігається індивідуальний об'єм:
У разіA= 1, тобто. . Звідси умова нестисливості.
З рівняння збереження маси тоді випливає
Тобто. щільність рідкої частки зберігається.
Система рівнянь гідродинаміки стисливої рідини:
умова несжимаемості грає роль рівняння стану. Справді, як ми бачили, наслідком є збереження щільності індивідуальної частки. Як ми бачили раніше, це означає, щоdp /d=, тобто. швидкість звуку в несжимаемой рідини нескінченна. Іншими словами, це означає, що розглядаються процеси, що мають такі характерні масштаби по просторуL, часуTі швидкостіv, щоL / T, v2dv. Оскільки поверхнюRобрана довільно, то можнаRспрямувати до . Але тоді
тобто. при стаціонарному потенційному обтіканні на тіло в ідеальній стисливій рідині сила не діє.Це так званий феномен Даламбера. Від має ясний фізичний зміст. В ідеальній рідині має зберігатись енергія. Якби на тіло з боку рідини діяла сила, то над тілом відбувалася б робота. Куди б поділася енергія? Парадокс Даламбера наслідок ідеалізації 1) ідеальна, 2) несжимаемая, 3) безмежна.
Розглянемо тепер випадок, коли тіло у рідині рухається із прискоренням. Тоді феномен Даламбера не працює, тіло захоплює у себе рідина, вона прискорюється, але в тіло з боку рідини діє сила.
Отже, нехай на тіло маси діє сила . Тіло занурене в ідеальну безмежну стисливу рідину. Знайти прискорення тіла:
На рідину з боку тіла діє сила
Сила, що діє на рідину - дорівнює зміні імпульсу рідини. Здавалося б, далі завдання вирішується просто.
1. Знаходимо поле швидкості рідини. Для цього розв'язуємо рівняння Лапласа
Un(t) - нормальна проекція швидкості на поверхню тіла. Рішення буде таким самим, як у разі рівномірного прямолінійного руху. Далі знаходимо імпульс рідини
Але , аdv
r2dr. Такий інтеграл розходиться, тобто. у такий спосіб обчислити імпульс рідини не вдається.
Тоді міркуватимемо. Імпульс рідини - це кількість руху, яке потрібно повідомити рідини, щоб створити зі стану спокою аналізований рух. Припустимо, що цей рух ми створюємо за рахунок руху того самого тіла, яке діє на рідину силоюG(t).
При цьому тіло здійснює над рідиною роботу
де – швидкість тіла. У цьому, оскільки у початковий час рідина лежала, то її кінетична енергія дорівнювала 0, тобто. кінетична енергія рідини на момент часуtдорівнюєA(t), тобто.
Таким чином, зміна імпульсу рідини виражається через зміну її кінетичної енергії. При цьому кінетичну енергію рідини можна обчислити
Цей інтеграл сходиться.
Зауважимо, що поле швидкості виходить із розв'язання лінійного рівняння (=0), значення швидкості входить до граничних умов, тобто. поле швидкості рідини - Динійна функція швидкості тіла. Але цьому кінетична енергія рідини буде квадратичну форму від швидкості тіла, тобто.
Ці міркуваннянедостатньо суворі. Треба, строго кажучи, довести, що сила, що діє на тіло, пов'язана зі зміною кінетичної енергії рідини.
Повернемося до завдання, сформульованого спочатку. Знайдемо прискорення зануреного тіла, на яке діє сила. Проекція на вісьi.
Отже, через те, що тіло прискорює рідину, що захоплюється за ним, то це еквівалентно збільшенню маси і навіть виникненню інших складових прискорення, відмінних від напрямку сили. Ці ефекти описуються величиноюmij, яка називається тензором приєднаної маси.
Рух кулі в рідині. Потенційне обтікання.
Нехай куля радіусуaрухається в рідині зі швидкістюU. Знайдемо
1) поле швидкості
2) розподіл тиску по поверхні кулі
3) приєднану масу.
Лапласіан у сферичних змінних
Рішення шукаємо методом поділу змінних
Приr; цій умові відповідаєm = –2, тобто.
З граничної умови на поверхні сфери маємо
Розподіл тиску по поверхні сфери
Перейдемо в СО, в якій тіло спочиває. Тоді швидкість
Розподіл тиску на поверхні сфери знайдемо за теоремою Бернуллі
1. Спочатку знаходимо кінетичну енергію руху рідини.
За визначенням приєднаної маси
Порівнюючи ці два вирази, маємо:
Приєднана маса дорівнює 1/2 маси рідини обсягом тіла.
Обчислимо імпульс рідини безпосередньо
0 - невизначеність.
Таким способом не можна знаходити імпульс рідкості та приєднану масу. А треба її знаходити із кінетичної енергії рідини.