ЛЕКЦІЇ ТЕОРМУХ - Лек14Д(през)
ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ В УЗАГАЛЬНИХ КООРДИНАТАХ
Рівняння Лагранжа 2-го роду
1. Рівняння Лагранжа 2-го роду
Загальне рівняння динаміки в узагальнених координатах виглядає так:
Виберемо узагальнені координати
(14.2)
для всіх .
Враховуючи що
Радіус-вектор точкиМiтакож є функцією узагальнених координат та часу
(14.3)
Оскільки узагальнені координати системи
(а)
а у разі стаціонарних зв'язків
Тут похідні від узагальнених координат за часом являють собою узагальнені швидкості.
З виразу (а) випливає, що приватна похідна від Viза якоюсь узагальненою швидкістю
Кінетична енергія механічної системи визначається за формулою
(14.6)
З виразу (14.4) випливає
Знайдемо приватні похідні кінетичної енергії за узагальненою координатою
Перетворимо останній вираз на основі рівності (б)
Продиференціюємо цей вираз за часом
(В)
Розглянемо обидві суми, що входять до правої частини рівності (в).
Для невільної матеріальної точки
1. На основі виразу для узагальненої сили знаходимо:
2. Для встановлення значення другої суми розглянемо вираз
(г)
Знайдемо приватну похідну (
(д)
Користуючись цією залежністю, перетворимо другу суму у правій частині рівності (в)
Підставляємо знайдені значення обох сум на рівність (в) і розглядаємо механічну систему зі стаціонарними ідеальними зв'язками, для яких
(14.7)
при використанні рівнянь Лагранжа другого роду:
Визначити кількість ступенів свободи системи та вибрати найбільш зручні узагальнені координати;
Обчислити кінетичну енергію системи та виразити її через узагальнені координати та узагальнені швидкості;
Обчислити похідні від кінетичної енергії;
Визначити узагальнені сили, які відповідають обраним узагальненим координатам;
Підставити всі обчислені величини рівняння Лагранжа і визначити потрібну величину (найчастіше це - прискорення).
Для складання лівих частин цих рівнянь слід виразити кінетичну енергію через узагальнені координати та узагальнені швидкості.
Узагальнені сили можуть бути знайдені або безпосередньо через проекції на осі декартових координат (рівняння (13.6)),
або як координати при варіаціях узагальнених координат у вираженні можливої роботи (рівняння (13.4)).
2. Кінетичний потенціал
Якщо на систему, що розглядається, діютьтільки консервативні сили, то узагальнена сила визначається
У цьому випадку рівняння Лагранжа другого роду набувають такого вигляду.
і
Отже, кінетичний потенціалLє функцією узагальнених координат, узагальнених швидкостей та часу
Потенційна енергія є функцією лише узагальнених координат та часу, тому
Користуючись цією умовою, отримаємо
Підставивши ці приватні похідні до рівнянь Лагранжа, отримаємо
(14.8)
Рівняння (14.8) називаютьрівняннями Лагранжа другого роду для консервативної системи.
3. Циклічні координати
Узагальнені координати, які не входять явно у вираз кінетичного потенціалуL, називаються циклічними координатами.
Припустимо, що середSузагальнених координат системи координати є циклічними.
Тоді за визначенням циклічних координат похідні від кінетичного потенціалу за цими координатами дорівнюють нулю:
У цьому випадкуkрівнянь (14.9) набувають вигляду
Ці рівняння називаються циклічними інтегралами.
1) Положення точки у просторі визначається трьома координатами. Приймемо декартові координати за узагальнені. Тоді
Кінетичний потенціал точки
Координатиx,yне входять у виразі кінетичного потенціалуL, тобто є циклічними координатами. Циклічні інтеграли мають вигляд
Ці вирази показують, що проекції швидкості точки горизонтальні осі координат постійні, тобто під дією сили тяжіння змінюється тільки вертикальна складова швидкості точки.