Логарифмічні рівняння, приклади розв’язання

Урок та презентація на тему: "Логарифмічні рівняння. Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь"

Знайомство з логарифмічними рівняннями

Діти, ми продовжуємо вивчати велику тему логарифмів, сьогодні ми з вами подивимося, як вирішувати різні рівняння, в яких є логарифми. Логарифмічним рівнянням, називається рівняння такого типу: $\log_a=log_a$.

Не забуваємо всіх вимог, що висуваються у визначення логарифму. Згадайте самостійно про показник логарифму та кількість, що стоїть під знаком логарифму. Хлопці, також згадайте теорему 4 уроку "Властивості логарифмів". Спираючись на цю теорему, сформулюємо основний принцип при вирішенні логарифмічних рівнянь.

Теорема.Якщо $f(x)>0$ і $g(x)>0$, то логарифмічне рівняння $\log_a=\log_a$, де $a>0$, $a≠1$, рівносильне рівнянню $f(x)=g(x)$.

Як вирішувати логарифмічні рівняння?

Від логарифмічного рівняння $log_a=log_a$ перейти до рівняння $f(x)=g(x)$.
Розв'язати рівняння $f(x)=g(x)$.
Перевірити кожен корінь рівняння $f(x)=g(x)$ за умови $f(x)>0$ і $g(x)>0$.
Якщо корінь рівняння задовольняє кожному з $f(x)>0$ і $g(x)>0$, це і є рішення вихідного рівняння. Якщо хоч одна з умов $f(x)>0$ і $g(x)>0$ не виконується, то цей корінь не буде рішенням вихідного рівняння.

Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь

приклад. Вирішити рівняння: $\log_3=log_3$. Рішення. Позбудемо знак логарифму: $x^2-2x-9=x+1$. Вирішимо рівняння: $x^2-2x-9=x+1$. $x^2-3x-10=0$. $(x-5)(x+2)=0$. $x_1=5$ і $x_2=-2$. Перевіримо отримане коріння: $\begin f(x)=x^2-2x-9>0,\\g(x)=x+1>0.\end$ Перевіримо перший корінь: $\begin f(5)=5^2-2*5-9=6>0,\g(5)= 5+1=6>0.\end$ $x_1=5$ - рішення вихідного рівняння. Перевіримо другий корінь: $\begin f(-2)=(-2)^2-2*(-2)-9=-5 0,\xx1>0,\6x+6> 0.\end$ Перший корінь $x=3$, задовольняє кожній нерівності вище. Другий корінь $x=-1$, не задовольняє другий і третій нерівності. Відповідь: $x=3$.

приклад. Розв'язати рівняння: $lg^2-lg+1=frac>$. Рішення. Спочатку розглянемо праву частину рівняння: $\frac>=\frac+\lg>=\frac>$. Вихідне рівняння набуде вигляду: $\lg^2-\lg+1=\frac>$. Давайте введемо нові змінні. Нехай $y=\lg.$ $y^2-y+1=\frac.$ Звернемо увагу: $y≠-1$. Оскільки знаменник правої частини рівняння звертається до 0 при такому значенні у. $(1+y)(y^2-y+1)=9.$ $y^3+1=9.$ $y^3=8.$ $ y=2.$ Введемо зворотну заміну, тоді: $\lg=2$ => $x=100.$ Відповідь: $х=100.$

Давайте запишемо основні способи розв'язання логарифмічних рівнянь: 1.Графічний метод.Представляємо обидві частини рівняння у вигляді функцій та будуємо їх графіки. Знаходимо точки перетинів графіків. 2.Принцип рівності чисел, що стоять під знаком логарифму.Принцип заснований на тому, що два логарифми з однаковими основами рівні, тоді і тільки тоді, коли рівні числа, що стоять під знаком логарифму. $\log_a=log_a$ $f(x)=g(x).$ 3.Метод заміни змінних.Даний метод варто застосовувати, коли рівняння при заміні змінних спрощує свій вигляд, і вирішити його стає набагато легше. 4.Метод логарифмування.Даний метод використовується у випадках, коли вид рівняння значно спрощується при логарифмуванні обох його частин. Докладніше цей метод розглянемо на прикладі.

приклад. Вирішити рівняння:$x^>=9.$ Рішення. Обидві частини нашого рівняння набувають лише позитивних значень, тоді ми можемо підрахувати логарифми від кожної частини. Візьмемо логарифм на основі 3. $\log_3>)>=log_3.$ Згадаймо важливу властивість логарифму: $\log_a=r*log_a.$ Тоді: $\ log_3>)>=(1+\log_3)(\log_3).$ $\log_3=\log_3=2\log_3=2.$ Введемо нову змінну: $y=\log_3.$ $(1+y)y=2.$ $y^2+y-2=0.$ $(y+2)(y-1)=0.$ $ y_1=-2$ і $y_2=1.$ Введемо зворотну заміну: $\log_3=-2$ і $\log_3=1.$ $x=(3)^=\frac $ і $x=3^1=3.$ Відповідь: $x=3$ і $x=\frac.$

Приклад. Вирішити систему рівнянь: $\begin \log_9=\frac,\\log_-log_=\frac.\end$ Рішення. 1. Розглянь перше рівняння докладніше: $\log_9=\frac.$ $(x-y)=9^>=\sqrt=3.$ 2. Розглянемо друге рівняння: $\log_-log_=\frac.$ $\log_>=\frac.$ $\frac=^>=\sqrt[3]=4.$ Вихідна система рівнянь дорівнює системі: $\begin x-y=3,\\ \frac=4.\end$ $\begin x-y=3,\\x=4y.\end$ $\begin 3y=3,\xx4y.\end$ $\begin y=1,\\x=4.\end$ Перевіримо наше рішення. Пам'ятаємо, що повинні виконуватися одночасно 3 нерівності: $\begin (x-y>0,\xxgt;0\\y>0.\end$ Наше рішення (4;1) задовольняє системі нерівностей. Відповідь: (4; 1).

Завдання на логарифмічні рівняння для самостійного вирішення

1. Вирішити рівняння: $ log_5 = log_5. $ 2. Розв'язати рівняння: $log_7+log_7=log_7.$ 3. Розв'язати рівняння: $\lg^2-2lg+4=\frac>.$ 4. Розв'язати рівняння: $x^>=16.$ 5. Вирішити систему рівнянь: $\begin\log_9=\log_9,\\\log_5=\log_5.\end$