Математична інтуїція
Ще давніх цікавили питання: як створюється нове, звідки береться те, чого ще не було вчора, хто чи що його джерело? І вже давні намагалися відповісти на нього, створюючи грандіозні міфологічні, потім релігійно-філософські, а потім і наукові картини світу. Однак щодо творінь людини це питання набувало особливої гостроти. Бо, по-перше, шляхи пошуку нового, навіть у одній області, дуже сильно різняться, а по-друге, здатність створювати нове властива далеко ще не всім людям.
Подальші дослідження лише підкреслили відокремленість математики, унікальність її методів та висновків, що дозволяє говорити нам про особливий вид творчості – математичну творчість. Нас цікавитиме питання, як здійснюється ця творчість, тобто. з'являється нове в математиці і яка роль інтуїції у появі цього нового. Крім того, ми розглянемо деякі питання взаємин математичної інтуїції та гуманітарного знання.
Інтуїція в математичній творчості.
Чиста логіка завжди приводила б нас тільки до тавтології; вона не могла б створити нічого нового…”
А. Пуанкаре [17, стор.210]
У вступі ми зазначили, що процес відкриття одного і того ж може протікати у різних людей по-різному. Не дивно, т.к. у кожному такому разі ми маємо справу з творчою індивідуальністю, яка багато в чому визначається роботою унікального органу – людського мозку. Розкриття механізмів його роботи могло б дати точну відповідь на наші запитання. Але й досі ці механізми залишаються загадкою. Більше того, сучасні дослідження наголошують на складності їх розкриття. Так, І. Пригожин та І. Стенгерс наводили такі цікаві відомості: “У стадії глибокого сну вактивності головного мозку виявляється детерміністичний хаос з фрактальним атрактором у шестивимірному просторі З іншого боку, у стані неспання кінцевий атрактор не був ідентифікований. З погляду електричної активності ми маємо справу з справжньою випадковістю” [16, стор 78]. Це говорить про те, що дослідження процесу творчості через вивчення функціонування головного мозку не може сьогодні суттєво допомогти у досягненні наших цілей. Здавалося б, на цьому можна ставити крапку у спробі вивчення творчості взагалі й математичної – зокрема, оголосивши це завдання поки що нерозв'язне. Така негативна реакція є цілком природною. Однак, там де ми доходимо до меж спеціального знання, де ми усвідомлюємо принципову обмеженість цього знання і де у нас виникає потреба переступити ці межі, там у нас залишається один засіб – це гіпотеза та філософський аналіз проблеми. Тут ми встаємо цей шлях. Його суть полягає у вивченні свідчень суб'єктів творчості та її продуктів. Як ми побачимо, такий шлях дозволить хоча б частково відповісти на ці запитання.
Дослідники давно помітили два абсолютно різні магістральні шляхи у розумінні математики: геометричний (або топологічний) та алгебраїчний. Геометричний спосіб розуміння включає оперування наочними ідеями, залучення креслень і малюнків, відмова, хоча на етапі самого творіння, від формул і обчислень, огрубляючи, можна сказати так: геометричне розуміння – це спочатку наочне уявлення, потім формула. Під методом алгебри розуміють повну протилежність геометричному. Незважаючи на те, що обидва підходи можна чітко ідентифікувати, вони не є самодостатніми. Т. е. не завжди завдання може бути зведена тільки догеометрії або лише до алгебри. Зауважимо, що в історії були спроби такої інформації.
У VI ст. до зв. е. піфагорійці висунули філософський принцип - "все є число". І спробували всі відомі ним закономірності звести до числових співвідношень. Однак відкриття проблеми несумірності відрізків призвело до відмови від цього принципу та переходу до геометричного способу міркувань. Такий підхід проіснував досить довго. Наприклад, Д. Кардано (1501-1576) при виведенні своїх знаменитих формул міркував приблизно так: “... якщо куб зі стороною β=α+хрозрізати площинами, паралельними граням, на куб зі стороною α і куб зі стороноюх,виходить, крім двох кубів, три прямокутні паралелепіпеди зі сторонами α, α,хі три – зі сторонами α,х, х;співвідношення між обсягами дає
х3 +3х2 α+ 3хα 2 +α 3 = β 3;
х3 +3αβх= β 3 -α 3
паралелепіпеди різних типів попарно об'єднуються. [9, стор 27]
Т. о. виглядала звична нам викладка 3х2 α +3хα 2 =3хα (х+α)= 3хαβ (з огляду на те, щох+α=β).
Перехід на символіку алгебри, зокрема відкриття аналітичної геометрії, істотно спростили міркування. І дозволив студентам-першокурсникам просто вирішувати завдання, багато з яких вимагали б значних зусиль у великих математиків давнини.
Як бачимо, застосування геометричного підходу в даній задачі ускладнювало її вирішення, а символізація алгебри істотно спростила її розуміння.
Більше того, в будь-якій змістовній задачі можна виділити як геометричну, так і складові алгебри, причому складові незалежні. Найпростіший приклад – це поняття дійсного числа. Ось що пише з цього приводу Г.Вейль [8]: “Система дійсних чисел подібна до дволикого Януса: з одного боку – це сукупність алгебраїчних операцій “+” і “” та їм зворотних, з іншого – континуальне різноманіття, частини якого пов'язані один з одним безперервно. Перший лік чисел алгебраїчний, другий топологічний.
Слід зазначити, що поєднання обох підходів життєво необхідне розвитку математики. Ми частково продемонстрували це з прикладу виведення формул Кардано. Наведемо ще кілька свідчень на користь нашого висновку. Так відомо, що основну теорему алгебри неможливо довести суто алгебраїчними методами. На якомусь етапі нам обов'язково знадобиться властивість безперервності в тій чи іншій геометричній інтерпретації.
Або візьмемо поняття групи Лі. Як зазначає видатний фахівець у галузі групового аналізу диференціальних рівнянь П. Олвер [12]:
“На перший погляд група Лі виглядає якимось неприродним поєднанням алгебраїчного поняття групи, з одного боку, і диференційно-геометричного поняття різноманіття, проте комбінація алгебри та аналізу призводить до потужної техніки для вивчення симетрії…” [12, стор 37-38] .
Отже, ми виділили два напрями у розумінні математики. Причому вказали на їхню принципову взаємодоповнюваність або на те, що Г. Вейль називав “встановленою гармонією між геометрією та алгеброю”. Вивчення творчості реально діючих математиків показує, що останні завжди тяжіють до одного з напрямів. Класичним прикладом є школа теорії функцій К. Вейєрштрасса з формально-алгебраїчною спрямованістю та топологічна теорія функцій алгебри Г. Рімана. Такий поділ, швидше за все, є не тільки дією навколишніх факторів. Так, ті ж К. Вейєрштрас та Г.Ріман творили в один і той же час, в одному і тому ж культурному середовищі. Тому з великою ймовірністю можна стверджувати, що в основі такої пристрасті лежать особисті мотиви, основою яких є, за інших рівних умов, фізіологічні особливості головного мозку конкретного вченого. На підтвердження пошлюся на відкриття, зроблене професором Каліфорнійського технічного інституту Р. Сперрі. Р. Сперрі досліджував хворих з перерізаним "мозолистим тілом", що з'єднує дві півкулі мозку і довів, що функції цих півкуль мають певну несиметричність. За свої дослідження Р. Сперрі отримав Нобелівську премію з біології та медицини у 1981 році. Коротко суть відкриття Р. Сперрі сформулював академік В. І. Арнольд: “Наш мозок складається із двох півкуль. Ліве відповідає за множення багаточленів, мови, шахи, інтриги та послідовності силогізмів, а праве – за просторову орієнтацію, інтуїцію та все необхідне для реального життя” [2, стор 49].