Математична статистика

Описова статистика

Вибіркові характеристики двовимірного випадкового вектора

Вибіркові характеристики можна запровадити і вибірок з багатовимірних генеральних сукупностей. Нехай (x1, y1),…,(xn, yn) – вибірка спостережень двовимірного випадкового вектора (X, Y), що має розподіл FXY(x, y). Нехай вибірка містить k різних пар спостережень (варіантів) z1,…,zk, $_>=(_>,_>)$, причому варіант zi зустрічається із частотою ni, $i=\overline$.

За аналогією з одновимірним випадком введемо випадковий вектор дискретного типу $(X_^,Y_^)$, який приймає значення z1,…,zk з ймовірностями, рівними відповідним відносним частотам, n1/n,…, nk/n, тобто. $P\left( (X_^=_>)\bigcap (Y_^=_>) \right)=_>/n$, $ i=\overline$.

Розподіл випадкового вектора $(X_^,Y_^)$ називається розподілом двовимірної вибірки. Попереднє уявлення про розподіл вибірки можна отримати, зображуючи елементи вибірки крапками на площині координат xOy. Це уявлення вибірки називається діаграмою розсіювання (scatter plot).

Вибірковими числовими характеристиками двовимірної вибірки (x1, y1), ... (xn, yn) називаються числові характеристики випадкового вектора $ (X_^, Y_^) $. До таких характеристик належать, наприклад, моменти довільного вектора.

Вибірковий змішаний початковий момент порядку (q + r) дорівнює:

де $_>=P\left( (X_^=_>)\bigcap (Y_^=_>) \right)$, а підсумовування проводиться за всіма варіантами випадкового вектора $(X_^,Y_^)$.

Враховуючи, що випадковий вектор $(X_^,Y_^)$ приймає варіант (xi, yi) з ймовірністю, що дорівнює відносної частоті ni цього спостереження у вибірці, і, представляючи твори $x_^y_^_>$ як суми ni однаковихдоданків $x_^y_^$, $i=\overline$, формула (1) може бути записана у вигляді:

Аналогічно, вибірковий змішаний центральний момент порядку (q + r) визначається за формулою:

Найчастіше використовуваної числової характеристикою двовимірного вектора є коефіцієнт кореляції. Нагадаємо, що для випадкового вектора дискретного типу (X, Y) коефіцієнт кореляції rXY визначається наступним чином:

де kXY - підступний момент, за визначенням $_>=\mu _^$.

Враховуючи (2), визначимо вираз для вибіркового коефіцієнта кореляції $\rho _^$:

де $k_^$ – вибірковий підступний момент:

Для вибіркових моментів коварації та коефіцієнта кореляції застосовні всі тотожності, справедливі для моменту коварації і коефіцієнта кореляції випадкового вектора дискретного типу. Зокрема, корисне практично співвідношення між вибірковим ковариационным моментом і вибірковим змішаним початковим моментом другого порядку:

Приклад 1

Двовимірна вибірка може бути подана у вигляді кореляційної таблиці. Кореляційна таблиця (табл. 1.4) є аналогом групованого статистичного ряду для одновимірної вибірки.

Процедуру угруповання двовимірних вибіркових спостережень можна виконати безпосередньо за діаграмою розсіювання, нанісши на неї сітку горизонтальних і вертикальних прямих, взятих з постійними кроками h1 і h2 і розрахувавши частоти nij влучення вибіркових точок у кожен прямокутник.

---