Математичне очікування - виграш - Технічний словник Том III
Математичне очікування виграшу є іменованим числом, вираженим у тих самих грошових одиницях, у яких виражений кожен можливий выигрыш. Коли математичне очікування виграшу для даного гравця дорівнює нулю, то гра називається невинною для нього; коли математичне очікування виграшу позитивне, гра називається вигідною; і, нарешті, якщо математичне очікування виграшу негативно, то гра називається невигідною. Гра, вигідна даного гравця, - невигідна його противника, і навпаки, якщо виграш одного відповідає рівному програшу іншого. Питання, чи є математично вигідні ( відповідно до визначення) гри такими у практичному значенні слова, буде нами досліджено надалі виходячи з закону великих чисел. Під математичним очікуванням виграшу тут розуміється середній результат випробувань, який очікується при повторенні однієї і тієї ж гри. Отже, математичне очікування виграшу 4 5 рубля, а вартість пострілу 5 руб. Стріляти багато разів явно не вигідно. На підставі подібних розрахунків у капіталістичних країнах організуються різноманітні азартні ігри, що призводять до розорення гравців. Остаточний розрахунок протиставляє математичне очікування виграшу 680 марки математичному очікуванню збитку 130 марки. Q] - математичне очікування виграшу, якщо сторони Л і В застосовують змішані стратегії Р і Q відповідно. Зауважимо, що математичне очікування випадкового виграшу залежить і від виграшів при різних наслідках, і від ймовірностей кожного з них. Якщо, як і раніше, виграші дорівнюють 20 і 10 одиницям, а ймовірність а пробігає всі значення від 0 до 1, то математичне очікування набуває всіх значень від 10 до 20 одиниць. У біноміальних випробуваннях негативнематематичне очікування виграшу неможливо змінити на сприятливий бік. X прагне математичного очікування выигрыша; тому (припускаючи, що немає технічних перешкод до повторення гри довільно велике число п разів) гравець Л, для якого окрема партія вигідна (а 0), може бути уві. У тих випадках, коли математичне очікування виграшу дорівнює нулю, безризиковий еквівалент для ризикофоба негативний, для ризикофіла - позитивний, для ризиконейтралу - дорівнює нулю. Кожна така сума творів є математичним очікуванням виграшу першого гравця за умови, що другий гравець обирає відповідну чисту стратегію. Знак v може бути будь-яким. Тоді величина cWjpj має сенс математичного очікування виграшу, одержуваного за рахунок обслуговування /- та заявки при призначенні таа неї додатково одного каналу системи. Описана процедура продовжується до повного розподілу каналів. Яку вартість квитка слід встановити, щоб математичне очікування виграшу на один квиток дорівнювало половині його вартості. Яку слід встановити вартість квитка, щоб математичне очікування виграшу на один квиток дорівнювало половині його вартості. Яку вартість квитка слід встановити, щоб математичне очікування виграшу на один квиток дорівнювало половині його вартості.
Розгляньте, чому буде рівним у цьому випадку математичне очікування виграшу. У цьому полягає знаменитий Санкт-Петербурзький феномен; можна сказати, що математичне очікування виграшу нескінченне. Якщо підходити до азартних ігор з позицій максимізації математичного очікування виграшу, то вичерпний їх аналіз може бути здійснено засобами, теорії ймовірностей. Труднощі, які при цьому зустрічаються, носять чисто технічнийхарактер. Очевидно, що в цьому випадку слід би підрахувати математичне очікування виграшу для кожної дії і вибрати ту дію, для якої вона набуває найбільшого значення. Ми, однак, перебуваємо в ситуації, коли ці ймовірності невідомі і в прийнятні терміни їх нема звідки визначити. Вибір оптимальної стратегії тут також можна проводити за величиною математичного очікування виграшу. Пропозиція III у першій частині Мистецтво припущень присвячена підрахунку математичного очікування виграшу у грі з двома можливими наслідками. Вартість Сілету не повинна перевищувати 11 копійок, оскільки математичне очікування виграшу 11 6 копійки. Невигідна; б) вигідна; в) гра нешкідлива, оскільки математичне очікування виграшу дорівнює нулю. Вартість квитка не повинна перевищувати 11 копійок, оскільки математичне очікування виграшу 11 6 копійки. У такому разі ми говоримо, що в даних умовах математичне очікування виграшу для розглянутої особи дорівнює сумі творів кожного можливого виграшу на ймовірність цього виграшу. В умовах ризику замість критерію максимуму виграшу використовується критерій максимуму математичного очікування виграшу. Слід враховувати, що теоретично статистичних рішень доведено, що стратегія ( проект, варіант) найкраща за критерієм максимуму середнього виграшу буде такою і за критерієм мінімуму середнього ризику. У деяких випадках за відсутності надійної апріорної інформації про ймовірності можливих наслідків можна використовувати принцип недостатнього освоєння Лапласа, прийнявши значення цих ймовірностей рівними один одному. При відомих ймовірностях кожної стратегії Я, вибирається стратегія А, коли математичне очікування виграшу буде максимальним. Невигідна; б) вигідна; в) гра нешкідлива, оскількиматематичне очікування виграшу дорівнює нулю. J) - f - / 2 ( 2 1) 1, якщо математичне очікування виграшу окремої гри позитивне. Нагадаємо, що гра, в якій беруть участь два гравці, називається справедливою, якщо математичне очікування виграшу кожного гравця дорівнює нулю. У нашій грі другим партнером є банк або гральний дім. Гравець кидає монету до появи першої цифри. Якщо раніше випало X гербів, то гравець отримує від банку У-2 х доларів. У загальному випадку за відомих ймовірностей кожного стану П вибирається стратегія А, при якій математичне очікування виграшу організаторів виробництва буде максимальним. Бернуллі про Санкт-Петербурзький феномен (1738 р.), який висував гіпотезу у тому, що математичне очікування виграшу має визначатися з урахуванням його суб'єктивної оцінки. У цьому гранична корисність доходу з кожним приростом останнього знижується.
Максиминний принцип поведінки гравців в антагоністичних іграх вичерпним чином характеризує їхню поведінку з погляду максимізації математичного очікування виграшу. Разом про те, якщо гра має багато рішень ( рівноцінних у цьому сенсі), то постає питання виборі у тому числі найкращого ще й з будь-якої іншої, додаткової погляду. Для ризикофіла справедлива протилежна нерівність, а для індивіда, індифе-ретного до ризику, безризиковий еквівалент і математичне очікування виграшу збігаються. Коли математичне очікування виграшу для даного гравця дорівнює нулю, то гра називається невинною для нього; коли математичне очікування виграшу позитивне, гра називається вигідною; і, нарешті, якщо математичне очікування виграшу негативно, то гра називається невигідною. Гра, вигідна для цього гравця, - невигідна для його супротивника, інавпаки, якщо виграш одного відповідає рівному програшу іншого. Питання, чи є математично вигідні ( відповідно до визначення) гри такими у практичному значенні слова, буде нами досліджено надалі виходячи з закону великих чисел. При цьому, природно, найкращі стратегії ха і уа знаходяться вже з умови досягнення максимуму та мінімуму відповідних математичних очікувань виграшу та програшу. Матриця показників. При використанні матриці як з елементами а -, так і р вибір оптимальної стратегії проводиться за максимальним значенням математичного очікування виграшу. Практично норма процентування при зазначених у табл. 2.4.1 рівнях ризику має бути ще вищим, оскільки при тому самому математичному очікуванні виграшу краще надійніша гра. Інакше кажучи, необхідно як компенсувати ризик до отримання тієї ж прибутку, а й додатково підвищити ставку підприємця за сміливість. Прийнятної теорії економічного ризику немає, і ми пропонуємо читачеві кілька паліативів. Тому повна визначеність змішаного розширення матричної гри має розумітися в тому сенсі, що в умовах застосування гравцями оптимальних змішаних стратегій однозначно встановлюється математичне очікування виграшу гравця 1, яке і дорівнюватиме значення гри. Зрозуміло, якщо оптимальні стратегії гравців є суворо змішаними (тобто не є чистими), то фактичні (випадкові) значення виграшів гравців в окремих партіях гри можуть виявитися різними. Коли математичне очікування виграшу для даного гравця дорівнює нулю, то гра називається невинною для нього; коли математичне очікування виграшу позитивне, гра називається вигідною; і нарешті, якщо математичне очікування виграшунегативно, то гра називається невигідною. Гра, вигідна даного гравця, - невигідна його противника, і навпаки, якщо виграш одного відповідає рівному програшу іншого. Питання, чи є математично вигідні ( відповідно до визначення) гри такими у практичному значенні слова, буде нами досліджено надалі виходячи з закону великих чисел. У попередньому прикладі всі результати гри були більш менш сприятливі для гравця, але здебільшого деякі результати гри можуть бути пов'язані з програшем; у разі програш сприймається як негативний виграш, і математичним очікуванням виграшу, взагалі, називається ( алгебраїчна) сума творів кожного виграшу з його ймовірність. Однією із зручних інтерпретацій змішаної стратегії є її подання як випадкового вибору гравцями їх чистих стратегій, причому випадкові вибори різних гравців незалежні в сукупності, а виграш кожного з них у ситуації у змішаних стратегіях визначається як математичне очікування випадкового виграшу. Почасти це можна пояснити тим, що формула повної ймовірності виконує перехід від ймовірності до ймовірності. Але математичне очікування виграшу, хоч і вимірюється у тих самих одиницях, як і виграш, саме собою виграшем немає. Для того щоб його розуміти як виграш, потрібні додаткові угоди, не завжди очевидні і навіть не завжди природні. Повна ясність у питання було внесено лише після створення аксіоматичної теорії корисності, про яку йтиметься у гол. Сума всіх виграшів становить 24 гульдени, і математичне очікування виграшу дорівнює одному гульдену. Розгляньте, чому буде рівним у цьому випадку математичне очікування виграшу. У цьому полягає знаменитий Санкт-Петербурзький феномен;можна сказати, що математичне очікування виграшу нескінченне. Вартість Сілету не повинна перевищувати 11 копійок, оскільки математичне очікування виграшу 11 6 копійки. Невигідна; б) вигідна; в) гра нешкідлива, оскільки математичне очікування виграшу дорівнює нулю.
Питання про чисельну оцінку випадкового виграшу є досить нетривіальним і допускає різні відповіді. Ми не будемо глибоко вдаватися в його аналіз і приймемо як таку оцінку математичне очікування випадкового виграшу. Такий підхід є природним з погляду нкону великих чисел: математичне очікування виграшу при повторних реалізаціях ситуації можна як середній очікуваний виграш однією реалізацію. Нехай два гравці підкидають монету до першого випадання герба. Якщо герб вперше випаде на п-м киданні, перший гравець отримує від другого 2П одиниць. Тут математичне очікування на виграш першого гравця нескінченне. Тому, який би він початковий (кінцевий) внесок не зробив, гра буде не невинною, а вигідною для нього. Цей висновок, однак, суперечить здоровому глузду, тому що практично капітал другого гравця обмежений, і при партії, що затяглася, перший гравець не зможе отримати всього належного йому виграшу. Крім того, обмеженими є і можливості освоєння виграшу першим гравцем. Оплатність договору про проведення ігор обумовлена тим, що майнове надання однієї сторони (ставка гравця) кореспондує зустрічне надання шансів на виграш з боку організатора ігор. Зрозуміло, ймовірність виграшу який завжди втілюється в реальність. Але і вона має певну цінність, що дорівнює математичному очікуванню виграшу, може бути обчислена в грошах і, отже, також носить майновийхарактер. Питання про чисельну оцінку випадкового виграшу є досить нетривіальним і допускає різні відповіді. Ми не будемо глибоко вдаватися в його аналіз і приймемо як таку оцінку математичне очікування випадкового виграшу. Такий підхід є природним з погляду нкону великих чисел: математичне очікування виграшу при повторних реалізаціях ситуації можна як середній очікуваний виграш однією реалізацію. У прикладі 3.1 § 3 ми виявили, що першому гравцю вигідно ховати 10 коп. При цьому другому гравцю байдуже: як чинити, в сенсі математичного очікування виграшу, і ми припустимо, що він з ймовірністю 1/2 називає 10 коп. Ця проблема була відома в теорії ймовірностей ще на початку XVIII ст. Вона була вирішена лише після відкриття Дж. Нейманном принципу мінімаксу: А може (і повинен) грати так, щоб мінімізувати максимальне математичне очікування виграшу В. У даному випадку цей принцип легко реалізувати, і завдання вирішується за допомогою найпростішого підрахунку.