МАТЕМАТИЧНИЙ ОПИС ПРОЦЕСУ ОСВІТИ ДИСПЕРСНИХ ПОТОКІВ - Фундаментальні дослідження
Освіта розріджених потоків одна із основних процесів під час переробки дисперсних матеріалів [1–5]. У розрідженому стані здійснюються такі процеси, як змішання, подрібнення, ударний поділ суспензій [5] тощо. Незважаючи на таке широке застосування розпилювальних пристроїв практично відсутні методики розрахунку.
Аналіз математичних моделей, присвячених руху частинок у дисперсних системах (глава 1), показує наявність двох підходів – одночасткових завдань для малоконцентрованих потоків та статистичного опису з урахуванням взаємодії частинок як із несучою фазою, і між собою.
Наявність випадкових факторів у процесі формування розрідженого потоку, таких як невпорядкованість руху частинок, нерівномірність розподілу їхньої об'ємної щільності, взаємні та вторинні їх зіткнення тощо, вимагають ймовірнісного підходу до розв'язання задачі [1]. При цьому основною метою є встановлення явного виду функції розподілу [1] частинок твердої фази за їх діаметрами для замкнутої енергетично макросистеми рішенням відповідного кінетичного рівняння [1].
Статистичне опис макрофізичних систем у тому рівноважному стані, коли виконується умова енергетичної замкнутості, практично еквівалентно опису стохастичного поведінки відповідних їм динамічних систем [2]. При цьому можливий перехід від динамічних рівнянь з урахуванням ланжевенівських джерел до кінематичних рівнянь типу Фоккер-Планка [1] зі стаціонарними рішеннями у вигляді функції розподілу за набором узагальнених координат макросистеми.
Згідно зі статистичним підходом [1] вважатимемо, що макрофізичні системи розріджених потоків є рівноважними системами, що не взаємодіють між собою.частинок. Енергія даної системи зберігається та визначається енергією струменя та енергією взаємодії сформованих частинок з навколишнім середовищем.
Статистичне опис утворення розрідженого потоку частинок виконується у порядку. Спочатку постулюється розподіл числа частинок елементі фазового простору, що визначається сукупністю узагальнених координат макросистеми qυ, тобто. наборів змінних, що характеризують механізм утворення розрідженого потоку Потім складається рівняння енергетичного балансу в системі «струм-потік», задається умова нормування для визначення невідомих параметрів шуканого розподілу, виводиться вираз для диференціальної функції розподілу числа частинок узагальненої координати і обчислюються статистичні середні як деякі характеристики поведінки дисперсної системи.
У разі утворення дисперсної системи потоку частинок фазовий простір визначається сукупністю випадкової швидкості центру мас частинки dv1 та її діаметра D1.
Відповідно до робіт [1, 2], для гамільтонових закритих систем значення енергії можна вважати заданим, і вид канонічної функції розподілу збігається з видом рівноважної функції, що відповідає принципу максимуму ентропії для закритих макросистем, розподіл числа частинок дисперсного потоку dN1 в елементі фазового обсягу експоненційно убуває залежно від стохастичної енергії [1, 2] частинки E1:
(1)
Тут Е01 - параметр, що відповідає мірі енергії частинок, А1 - нормувальний коефіцієнт.
У загальному випадку стохастична енергія частинки складається з кінетичної енергії, енергії взаємодії з навколишнім середовищем, енергії внутрішнього руху, поверхневої енергії та енергії гідродинамічної взаємодії:
. (2)
(3)
де σ – коефіцієнт поверхневого натягу [3]; φ1 – кут розсіювання, D1 –діаметр частинки, v1 – швидкість частинки, H – товщина рідинного шару, С – коефіцієнт гідродинамічного опору [2], v – швидкість частинки.
Розглянемо окремі випадки утворення потоків.
У разі формування потоку твердих частинок, що розширюється, в стохастичну енергію входять лише перші дві складові – кінетична та енергія поперечного руху частинок у потоці (викликаного його розширенням) [2, 4]:
(4)
При розпаді одиночних рідких струменів на краплі стохастична енергія складається з кінетичної, поверхневої та енергії внутрішнього руху [1]:
(5)
У процесі формування дисперсних потоків крапель, що розширюється, також необхідно врахувати енергію, що витрачається на її розширення Evz [2, 6]:
(6)
У вираз стохастичної енергії при формуванні потоку неоднорідних середовищ, наприклад потоку частинок суспензії [7] будуть входити всі доданки.
Наступним етапом моделювання є визначення невідомих констант А1 і Е01, що входять до виразу (1).
Вільний параметр розподілу А1 визначимо з нормувального співвідношення [1], яке відповідає балансу маси в системі «струм, що не розпався, сформований потік»:
(7)
Тут N1 – повне число частинок, що у потоці в одиницю часу.
З урахуванням (1) вираз (7) набуде вигляду:
(8)
Невідомий параметр Е01 у виразі (1), відповідний мірі енергії системи потоку частинок [1, 8], знаходиться з рівняння енергетичного балансу, складеного для формування розрідженого потоку:
де En - енергія струму, що не розпався (потоку), Ep - енергія утвореного розрідженого потоку частинок. Згіднообраному розподілу числа частинок в елементі фазового об'єму dГ1 можна отримати диференціальні функції розподілу числа крапель рідини по куту розсіювання φ1 у фазовому об'ємі :
(10)
Диференціальна функція розподілу елементів потоку по кутах розсіювання φ1 задається виразом:
(11)
Основні середні характеристики процесу розпилення, такі як найімовірніший кут розсіювання та розмір частинок [1], можна визначити з наступних виразів:
(12)
Вибір в якості однієї з координат кута розсіювання пояснюється тим, що більшість відомих диспергуючих пристроїв створюють потоки, що розширюються, мають у поперечному перерізі трикутну (конічну форму), що розширюється.
Таким чином, стохастичний підхід дозволяє отримати диференціальні функції розподілу числа частинок за кутами розсіювання, а також обчислити середні характеристики процесу утворення дисперсних потоків частинок.
Визначення максимальної величини кута розкриття факела
Одним із основних параметрів процесу утворення дисперсних потоків є кут розкриття. Розмір кута розкриття факела необхідна для розрахунку параметрів розподілу A1 і Е01 (вирази (8), (12)). Для визначення φ1max було розроблено наближену методику оцінки даної величини.
Розглянемо процес закінчення струменя з каналу. Згідно з численними дослідженнями, як теоретичним [1], так і експериментальним [2], розширення потоку відбувається в результаті обтікання країв каналу та взаємодії з навколишнім середовищем.
Для визначення максимального значення кута розкриття факела складемо рівняння енергетичного балансу для периферійної частини потоку, яка схильна до максимального відхилення від осі потоку:
(13)
Тут Mc – момент аеродинамічних сил; vpx - швидкість частинок в кінцевій частині розпилювача, що визначається за викладеною в роботі [2] методикою. Величина моменту Mc може бути знайдена з виразу
(14)
де R0 - відстань від центру розпилювального каналу до краю; Kc – коефіцієнт лобового опору. Тоді
(15)
Тут ξ - коефіцієнт місцевого опору [1], що враховує тип розпилювача.
Вирішуючи (15) щодо φ1max, маємо:
(16)
(17)
rootof(õ) – форма подання рішення рівняння (16) [9].
Отримані залежності (16)-(17) можуть бути використані для оцінки значення φ1max для потоків, створюваних канальними пристроями. Величина коефіцієнта місцевого опору визначається дослідним шляхом і залежить від типу розпилювача.
Рецензенти:
Мурашов А.А., д.т.н., завідувач кафедри математичних та природничо-наукових дисциплін Московського фінансово-юридичного університету, м. Ярославль;
Єпархін О.М., д.т.н., професор, директор Ярославської філії ФДБОУ ВПО «Московський державний університет шляхів сполучення, м. Ярославль.