Математика для блондинок Площа ромба та паралелепіпед
Математика – це дуже просто, навіть простіше, ніж ми можемо собі уявити. Складну математику роблять самі математики.
Площа ромба та паралелепіпед
Якось давним-давно, за лісами широкими, за глибокими морями. На узліссі дрімучого лісу, у хатинці на курячих ніжках. Зла криклива тітка (а ви як думали? навіть Баба Яга була колись молодою) складала завдання для підручника математики. Вигадала вона завдання про паралелепіпед, але їй здалося цього мало. Не дуже складне завдання вийшло. Захотілося молодій карзі сильніше над діточками знущатися. І вигадала вона ще одне завдання про цей же паралелепіпед, у якого в основі ромб.
Давно це було, але розкопали археологи руїни стародавньої хатинки, витягли людські кісточки і виявили древні завдання. (А на чому ще Баба Яга могла писати? Паперової промисловості тоді не було, ось і ліс дрімучий недоторканим стояв.) Наші доблесні математики покрутили кісточки в руках і сумлінно переписали ці завдання у свої підручники, щоб діток просвітлювати. З тих пір по підручникам математики гуляє наступне завдання:
Основа прямого паралелепіпеда - ромб з площею 32 корені з трьох сантиметрів квадратних і гострим кутом 60 градусів. Велика діагональ паралелепіпеда створює з площею основи кут 30 градусів. Знайдіть обсяг паралелепіпеда.
Я розумію, що вивчати журнал мод набагато цікавіше, ніж вирішувати якісь завдання, але. наука, як і краса, потребує жертв. Беремо картинки з минулого завдання та розмальовуємо під нові умови.
Здавалося б, знайти обсяг такого прямого паралелепіпеда не складно, достатньо площу підстави помножити на висоту. Але, замість висоти, зла Баба Яга вигадала два кути. Один кут у 60градусів між сторонами ромба (ромб у нас жовтий, кут червоним позначений на верхній картинці), другий кут між основою та великою діагоналлю паралелепіпеда (ця діагональ та кут синеньким намальовані). Нижньою основою другого кута є велика діагональ ромба, адже висота перпендикулярна до основи у всіх прямих паралелепіпедів.
Замалюємо зеленим прямокутний трикутник, з якого спробуємо знайти катет, який одночасно є висотою паралелепіпеда (позначена червоним на другому малюнку). Гіпотенузу цього трикутника нам знайти не вдасться, а ось з другим катетом можна повозитися. Він є довгою діагоналлю ромба, у якого нам відома площа та гострий кут у вершині. Відкриваємо коробочку і дивимося на денце.
Згадуємо формулу площі ромба. Площа ромба дорівнює квадрату сторони, помноженому на синус кута у вершині. Звідси ми легко виколупуємо довжину сторони ромба. Далі на діагоналях малюємо прямокутний трикутник (гламурненького кольору), застосовуємо портрет тангенса і без особливих труднощів розуміємо, що довга діагональ дорівнює двом творам сторони на косинус половини кута у вершині.
Тепер найцікавіший момент. Як знайти висоту паралелепіпеда, не риючись у тригонометрії? Дуже просто. Користуючись портретом тангенсу, це можна зробити на рівні дитячого садка. Спершу малюємо наш трикутник і позначаємо на ньому кут, висоту паралелепіпеда та діагональ ромба. Потім малюємо другий трикутник і з допомогою портрета тангенса виражаємо його катети через довжину гіпотенузи. А далі зовсім трохи елементарної математики.
Порівнюємо картинки та записуємо, чому рівні потрібні нам висота та діагональ. Дивимося на портрет тангенсу та згадуємо, щотангенс – це синус на косинус. І що у тригонометрії скрізь дроби. Записуємо формулу тангенсу. Потім чисельник та знаменник нашого дробу множимо на діагональ. Дробина не змінилася, але в ній з'явилося щось дуже знайоме. Дивимося на верхні рівності та виражаємо тангенс через висоту та діагональ. Тепер залишається лише записати формулу висоти з одержаного виразу тангенсу. Дивіться, як все дивно вийшло.
Все завдання ми практично вирішили. Можна нанизати всі формули на один вираз і отримати великого динозавра. Можна кожну формулу обчислити окремо. Я полінувався писати велику загальну формулу і значення підставляв у кожну формулу окремо.
Залишається лише додати, що у цьому рішенні одні й самі числові значення відповідають різним величинам. Будьте уважні! Математики часто на такі дрібниці не звертають уваги, звідси й усі проблеми з математики. У нас довжина сторони ромба та висота прямого паралелепіпеда дорівнюють 8 сантиметрів. Половина кута в гострій вершині ромба чисельно дорівнює куту при великій діагоналі паралелепіпеда і становить 30 градусів. Якщо за умови вашого завдання інші числа, тоді нічого не переплутайте: "бабі - квіти, дитям - морозиво".