Матриця Картана
У математиці термінматриця Картанамає три значення. Усі вони названо на ім'я французького математика Елі Картана. Фактично, матриці Картана в контексті алгебр Лі вперше досліджував Вільгельм Кіллінг, тоді як форма Кіллінга належить Картану.
Зміст
Узагальнена матриця Картана- це квадратна матриця A = ( a i j ) )> з цілими елементами, така що
Наприклад, матрицю Картана дляG2 можна розкласти так:
Третя умова не є незалежною і є наслідком першої та четвертої умов.
Ми завжди можемо вибратиDіз позитивними діагональними елементами. У цьому випадку, якщоSу розкладанні є позитивно визначеною, то кажуть, щоAєматрицею Картана.
Матриця Картана простої алгебри Лі - це матриця, елементи якої є скалярними творами
(іноді званимицілими числами Картана), деri- система коренів алгебри. Елементи є цілими через одну з властивостей системи коріння. Перша умова випливає з визначення, друга — із факту, що для i ≠ j , r j − 2 ( r i , r j ) ( r i , r i ) r i -, r_) \over (r_,r_)>r_> є коренем, який є лінійною комбінацією простих коренівriіrjз позитивним коефіцієнтом дляrj, а тоді коефіцієнт приriмає бути невід'ємним. Третя умова вірна через симетричність відносини ортогональності. І, нарешті, нехай D i j = δ i j (r i, r i) = \over (r_,r_)>> та S i j = 2 ( r i , r j ) =2(r_,r_)> . Оскільки просте коріння лінійно незалежне, тоSє їх матрицею Грама (з коефіцієнтом 2), а тому є позитивно визначеною.
І назад,якщо дана узагальнена матриця Картана, можна знайти відповідну їй алгебру Лі (див. подробиці статті Алгебра Каца — Муді [en] ).
Класифікація
НехайA- нерозкладна узагальнена матриця Картана. Ми говоримо, щоAмаєкінцевий тип, якщо всі її головні мінори позитивні, щоAмаєафінний тип, якщо всі її власні Основні мінори позитивні і визначник матриціAдорівнює 0 і щоAмаєневизначений типв інших випадках.
Нерозкладні матриці кінцевого типу класифікують прості групи кінцевої розмірності (типу A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 ,B_,C_,D_,E_,E_,E_ ,F_,G_>), в той час як нерозкладні матриці афінного типу класифікують афінні алгебри Лі [en] (над деякими замками алгебри полями з характеристикою 0).
Визначники матриць Картана простих алгебр Лі
Визначники матриць Картана простих алгебр Лі дано в таблиці.
Інша властивість цього визначника - він дорівнює індексу асоційованої системи коренів, тобто він дорівнює P / Q, де P, Q позначають вагові ґрати [en] і кореневі ґрати відповідно.
Теоретично модулярних уявлень [en] і більш загальної теорії уявлень кінцевомірних асоціативних алгебр,які єнапівпростими [en] ,матриця Картанавизначається шляхом розгляду (кінцевого) безлічі головних нерозкладних модулів [en ] та написання композиційних рядів [en] для них у термінах простих модулів, отримуючи матрицю цілих чисел, що містить кількість входжень простого модуля.
У М-теорії можна представити геометрію як межу двоциклів, які перетинають один одного в кінцевому числі точок, при прагненні площі двоциклів до нуля. У межі виникає група локальноїсиметрії. Матриця індексів перетину базису двоциклів, гіпотетично, є матрицею Картана алгебри Лі цієї групи локальної симетрії [1] .
Це можна пояснити таким чином: M-теорії є солітони, що є двовимірними поверхнями, званимимембранамиабо2-бранами. 2-брани мають натяг і тому прагнуть зменшення, але вони можуть бути обернуті навколо двоциклів, що запобігають схлопування мембран до нуля.
Можна здійснити компактифікацію [en] однієї розмірності, в якій знаходяться всі двоцикли та їх точки перетину, і взяти межу, при якій розмірність схлопується до нуля, тим самим одержуючи зниження [en] цієї розмірності. Тоді одержуємо теорію струн типу IIA як межу M-теорії з 2-бранами, що обертають двоцикли, тепер представленими як відкриті струни, натягнуті між D-бранами. Є група локальної симетрії U(1) для кожної D-брани, подібна до ступенів свободи руху без зміни орієнтації. Межа, де двоцикли мають нульову площу є межею, де ці D-брани знаходяться на вершині один одного.
Відкрита струна, натягнута між двома D-бранами представляє алгебри Лі, і комутатор двох таких генераторів є третім генератором, представленим відкритою струною, який можна отримати шляхом склеювання ребер двох відкритих струн. Подальші зв'язки між різними відкритими струнами залежить від способу, яким 2-брани можуть перетинатися у вихідній M-теорії, тобто серед перетинів двоциклів. Таким чином, алгебра Лі залежить повністю від цих чисел перетину. Зв'язок із матрицею Картана передбачається, тому що вона описує комутатори простих коренів, які пов'язані з двоциклами у вибраному базисі.
Зауважимо, що генератори в подалгебре Картана [en]представлені відкритими струнами, які натягнуті між D-браною та тією ж браною.