Метод Даламбер
У цій лекції розв'язання задачі Коші для хвильового рівняння
Крок 1.Замінимо змінні(x, t)новими змінними(ξ,η), у яких хвильове рівняння набуде іншого вигляду: Така заміна виконується за формулами
Після підстановки цих похідних у хвильове рівняння отримаємо:
що й потрібно було довести.
Крок 2.Перетворене рівняння легко вирішується двома послідовними інтегруваннями (спочатку по зміннійη, а потім поξ):
деC1(η)– довільна функція відη. ОскількиC(ξ)– довільна функція, те й – також довільна функція.
Остаточно, загальне рішенняU(ξ,η)має вигляд
Крок 3.Для знаходження загального рішення початкового рівняння підставимо в (25) замістьξіηвирази (24):
Крок 4.Визначимо функціїC1іC2, використовуючи початкові умови (23). Після підстановки першої умови отримаємо
Знайдемо похідну функціїU(26) по зміннійtі підставимо другу умову:
В результаті матимемо систему рівнянь
Якщо проінтегрувати друге рівняння системи (27)xв межах відxoдох, то отримаємо наступну систему:
При додаванні цих рівнянь отримаємо
Якщо з першого рівняння системи відняти друге рівняння, то матимемо
Підставимо тепер отримані функції у загальне рішення (26):
Поміняємо місцями межі інтегрування у другому інтегралі, що стоїть у дужках (28). В результаті отримаємо вирішення вихідного завдання Коші
Формула (29) називаєтьсяформулою Даламбера.
Далі ми досліджуємо рішення, яке визначається за формулою Даламбера.
Просторово-тимчасова інтерпретація формули Даламбера
При дослідженні формули Даламбер виходитимемо з фізичного сенсу хвильового рівняння. Розглянемо рівняння вільних коливань нескінченної струни
та початкові умови
Таке завдання Коші за допомогою заміни незалежної змінної зводиться до завдання (23):
Розв'язання перетвореної задачі має вигляд (див. формулу Даламбера (29):
Якщо тепер у цю формулу замістьτпідставитиat, то вийде вирішення вихідного завдання
Перш ніж перейти до фізичної інтерпретації цієї формули, зробимо таке зауваження.
Зауваження.Розглянемо окремо функціїC1(x-at)таC2(x-at), що входять до загального рішення (26) (коефіцієнтав них з'явився тому, що нас зараз цікавить загальне рівняння (30)). Почнемо з функціїC1(x-at)і побудуємо графіки цієї функції при зростаючих значенняхt:t=to,t=t1,t=t2і т.д. (Див. рис. 8).
Якщо по черзі проектувати ці малюнки на екран (як у мультфільмах), то вони «втечуть» праворуч. Процес пересування відхилення по струні називаєтьсяхвильою.При цьому коефіцієнтаєшвидкістю поширення хвилі.Справді, припустимо, що паралельно осіхрухається спостерігач зі швидкістюа. Нехай у певний момент він перебував у точці xo. Тоді за проміжок спостерігач зміститься вправо на величину і опиниться в точці. Якщо в точці спостерігач бачив відхилення струни на величину то в момент величина відхилення - буде точно такий же! Тобто спостерігач бачитиме форму струни, що не змінюється.
Друга функціяC2(x-at)теж є хвилею, але тільки вона буде поширюватися зі швидкістюаліворуч. Часто функціїC1(x-at)іC2(x-at)називають, відповідно,прямою та зворотною хвилею.Таким чином, загальне рішенняU(x,t)(формула (26)) хвильового рівняння є суперпозицією прямої та зворотної хвилі.
Тепер дамо інтерпретацію формули Даламбера для двох окремих випадків.
ВИПАДК 1. Припустимо, що початкове відхилення відмінно від нуля, а початкова швидкість дорівнює нулю. Це означає, що початкові умови мають вигляд
За таких початкових умов виходить розв'язання задачі Коші, яке називається хвилею відхилення. Рівняння хвилі відхилення визначається формулою Даламбера
тобто рішенняUу певній точціxoу момент часуtoзалежить від значень початкової функціїφу двох точках на осіх: у точці(xo - ato)та у точці(xo + ato)(див. рис. 9).
ЗначенняUдорівнює середньому арифметичному значень початкової функціїφу точках(xo - ato)та(xo + ato). На рис. 9 зображено площинуxOt, яка називається фазовою площиною. На осіхвказані точки(xo - ato, 0)та(xo + ato, 0), у яких початкові відхилення струни визначають величину відхилення струни в точціxoу момент часуto. Ці точки є точками перетину прямихx - at = xo - atoтаx + at = xo + atoз віссюх. Зазначені прямі називаютьсяхарактеристиками хвильового рівняння. 9), називаєтьсяхарактеристичним трикутником.
Використовуючи таку інтерпретацію формули Даламбера, зобразимо фазову картину вирішення наступного завдання:
Зауваження. Насправдіпочаткові відхилення струни не можуть бути розривними в точкахх = -1тах = 1, адже струна не розривається. Однак ми не надто сильно погрішимо проти істинної картини поширення коливань, якщо вважатимемо їх шматково постійними. Справа в тому, що, по-перше, розглядаються дуже малі коливання струни, і, по-друге, малі зміни початкових значень незначно впливають на вирішення задачі.
На малюнку 10 зображено фазову площинуx0t. Розв'язанняU(x,t)задачі відмінно від нуля тільки в заштрихованих областях, причому початкове відхилення поширюється з однаковою швидкістю у двох протилежних напрямках - виникає пряма та зворотна хвилі. Межі цих областей - це характеристики хвильового рівняння: x - at = -1, x - at = 1, x + at = -1,x + at = 1.
Якщо розглянути процес коливання деякої фіксованої точки струниx = xo, то неважко помітити, що вона коливається тільки в кінцевий проміжок часу: від моменту до моменту, тобто в решті часу точкаxoв спокої. Кажуть, що у моментt1через точкуx = xoпроходить передній фронт хвилі, а моментt2- задній фронт хвилі. Взагалі,фронтом хвиліназивається межа між обуреною (що коливається) і необуреною областями середовища (точками струни). Для прямої хвилі рівняння переднього фронтуx - at = 1, а заднього фронтуx - at = -1. Для зворотної хвилі відповідноx + at = -1- рівняння переднього фронту, аx + at = 1- заднього фронту.
ВИПАДК 2. Нехай початкове відхилення дорівнює нулю, а початкова швидкість відмінна від нуля. Це означає, що початкові умови мають вигляд
У цьому випадку розв'язання задачі Коші називаютьхвильою імпульсу.Воно має вигляд(Див. формулу Даламбера)
тобто рішенняUу певній точціxoу момент часуtoзалежить від початкових швидкостейψу всіх точках відрізка [xo - ato, xo + ato] (див. рис 11). ЗначенняUрівне (інтегральному) середньому значенню початкової швидкості на відрізку [xo - ato , xo + ato], помноженому на проміжок часуt.
На рис. 11 зображена фазова площинаx0t. Точки(xo - ato, 0)та(xo + ato, 0)є точками перетину характеристикx - at = xo - atoтаx + at = xo + atoз віссюх. Як приклад наведемо фазову картину розв'язання наступного завдання:
Мал. 12 описує процес коливання струни, якій повідомляється початкова одинична швидкість на відрізку-1
При обчисленні інтеграла завжди зручно уявити характеристичний трикутник з вершиною в точці, що лежить у відповідній області (див. рис 12). Тоді значенняU(x,t)визначатиметься значеннями початкової функціїψ(x)на основі характеристичного трикутника.
2. В області 2 функція
3. В області 3 функція
4. В області 4 функція
5. В області 6 функція
Це рішення в різні моменти часу можна зобразити на площині x0U (див. рис 13). Тут для простоти покладемоa=1.
Графіки функціїU(x,t), зображені на рис. 13, задають форму струни у різні моменти часу.