Метричний ізоморфізм - Велика Енциклопедія Нафти та Газа
Метричний ізоморфізм
Метричний ізоморфізм ), що єдиним по mod 0 вимірним розбиттям, до-рою більшим за mod Про всіх Т - до, де е - розбиття на окремі точки, є тривіальне розбиття, єдиний елемент к-рого - все X. [1]
Оскільки метричний ізоморфізм є лінійним ізоморфізмом, то повторюючи доказ теореми 2 § 10 гол. Z / ортонормований і що перші k його векторів і тільки вони поодинокі. [2]
Інтерес до проблеми метричного ізоморфізму виник після робіт Неймана [23] і Неймана і Халмоша [21], де було показано, що в класі ергодичних динамічних систем з чисто точковим спектром повна система метричних інваріантів вичерпується спектром. Гельфанд зауважив, що результат фон Неймана може бути отриманий як простий наслідок тривіальності другої групи когомологій спектру, який завжди є лічильною абелевою групою, з коефіцієнтами в S1, Здавалося, що для систем з безперервним спектром треба зрозуміти, в якому сенсі спектр утворює групу , ввести для неї групи когомологій з коефіцієнтами групи унітарних операторів, після чого проблема ізоморфізму зведеться до обчислення відповідної другої групи когомологій. [3]
Лінійний ізоморфізм при цій умові називається метричним ізоморфізмом (про лінійний ізоморфізм див. § 10 гл. [4]
Ентропія динамічної системи виявилася принципово новим інваріантом метричного ізоморфізму динамічних систем, які залежать від їх спектру, що випливає з того, що на класі систем з рахунково-кратним спектром лебегівським ентропія може приймати будь-які допустимі значення. Новий інваріант дозволив, таким чином, розщепити динамічні системи з рахункоразовим лебегівським спектром на інваріантний континуумпідкласів з різними значеннями ентропії та, отже, метрично неізоморфних між собою. [5]
Щоб переконатися у справедливості цих зауважень, достатньо встановити метричний ізоморфізм між евклідовою площиною з її первісною метрикою та цією самою площиною з її новою метрикою. Згідно з § 5 (див. доказ теореми 1) ми отримаємо метричний ізоморфізм, якщо встановимо лінійний ізоморфізм, при якому базиси, зображені на рис. 40 та 42, відповідають один одному. [6]
Очевидно, ця відповідність є лінійним ізоморфізмом; разом з тим воно є метричним ізоморфізмом, тому що ортонормований базис площині IIj відповідає базис площини П3, орто-нормований в її новій метриці. [7]
Два потоки Т, і TJ у просторах ( Q, У, Р) і ( Q, У, Р) відповідно ізоморфні, якщо існує метричний ізоморфізм S : Q-Q, такий, що TjoS SoT для всіх речових Л Зрозуміло, що ізоморфні потоки повинні мати одну й ту саму ентропію. [8]
Щоб переконатися у справедливості цих зауважень, достатньо встановити метричний ізоморфізм між евклідовою площиною з її первісною метрикою та цією самою площиною з її новою метрикою. Згідно з § 5 (див. доказ теореми 1) ми отримаємо метричний ізоморфізм, якщо встановимо лінійний ізоморфізм, при якому базиси, зображені на рис. 40 та 42, відповідають один одному. [9]
Тим самим між L і Z / встановлений лінійний ізоморфізм (див. § 10 гл. Таким чином, встановлений між L і L лінійний ізоморфізм є метричним ізоморфізмом. [10]