Моделювання систем на основі аналізу розмірностей та теорії подібності, Іспит з моделювання
Аналіз розмірності(англ.Dimensional analysis—«розмірний аналіз»або«просторове вивчення»; частіше говорять«міркування розмірності »або«метричні міркування») — інструмент, що використовується у фізиці, хімії, техніці та кількох напрямках економіки для побудови обґрунтованих гіпотез про взаємозв'язок різних параметрів складної системи. Неодноразово застосовувався фізиками на інтуїтивному рівні пізніше XIX століття.
Суть методу у найпростішому випадку полягає в тому, що для пошуку вираження одного з параметрів досліджуваної системи через інші з останніх складається формула (їх добуток у якихось ступенях), що має потрібну розмірність; часто саме вона і виявляється шуканим співвідношенням (з точністю до безрозмірного множника).
Найпростіший приклад: якщо позначити розмірності фізичної величини літерамиM,L,T, і поставити їм у відповідністьмасу,відстань,час, то така фізична величина, якшвидкість, може бути представлена як«відстань / час», тобто як (L/T) , асиламоже бути представлена як«маса × прискорення»або«маса × відстань/час²»або (ML/T²).
За допомогою таких самих співвідношень можна виразити потужність, імпульс та інші величини, у тому числі вельми незвичайні, такі, як «в'язкість» або «швидкість перенесення потужності» [1] [2] .
Вибір тієї чи іншої системи базових розмірностей не зводиться до математики, а визначається фізикою завдання. Після вибору системи розмірностей необхідно визначити величини, характерні системи (характерні величини). Наприклад, розміри кулі можуть бути охарактеризовані її радіусом, а розмірикругового циліндра - двома величинами (природний вибір радіуса циліндра та його довжини, але в деяких завданнях може бути зручна пара діаметр-обсяг або інший набір величин). Характерність величини пов'язана не тільки з фізичними властивостями системи, але і з питаннями, що нас цікавлять. Наприклад, для визначення площі земельної ділянки важливо знати будь-які величини, що характеризують розмір, а властивості, що відбивають, не релевантні цьому завданню. Однак якщо питання полягає у визначенні температури біля поверхні, то альбедо землі, поряд з багатьма іншими величинами, є суттєвим параметром, тоді як розмір ділянки не є важливим.
З вибраних характерних величин складаються всі незалежні комбінації, що дають розмірність величини, що нас цікавить. У простих випадках можлива лише одна така комбінація (наприклад, якщо відомий радіус кулі та його маса, а цікавить щільність матеріалу, то існує лише одна можлива комбінація вихідних величин, що збігається з шуканою за розмірністю:). У складніших завданнях комбінацій може бути кілька. Іноді потрібно знайти не скалярну величину, а функцію (наприклад, розподіл швидкості рідини у трубі). У разі поряд з аналізом розмірностей необхідно враховувати додаткові фізичні міркування
Щоб дослідження конструкцій проводити з урахуванням фізичного моделювання, необхідно знати закони цього моделювання, тобто. знати, як перейти від натурної конструкції до модельної та назад. Ці закони встановлюються за допомогою теорій «Аналізу рівнянь» та «Аналізу розмірностей». При встановленні законів моделювання необхідно розрізняти два різновиди моделювання. До першого різновиду можна віднести такі конструкції, робота яких вивчена теоретично і, отже,описується відомими рівняннями (наприклад, диференціальними рівняннями приватних похідних). Для таких конструкцій (тобто натури та моделі) подібність можна встановити, виходячи з «Аналізу рівнянь». До другого різновиду моделювання можна віднести такі конструкції, робота яких теоретично вивчена слабо або повністю не вивчена і, отже, не може бути представлена у вигляді певних рівнянь. Для таких конструкцій подібність можна встановити, виходячи з «Аналізу розмірностей» на підставі p -Теореми розмірностей. Однак слід мати на увазі, що в деяких випадках «Аналіз розмірностей» може призвести до невірних висновків, а саме:
можна помилитися, не добравши величин, які характеризують явище, що розглядається;
в рівняннях зв'язку зустрічаються іноді розмірні постійні величини, які важко виявити під час добору величин аналізу розмірностей;
величини нульової розмірності випадають із контролю аналізу розмірностей;
в аналіз розмірностей можуть бути помилково включені величини, що не належать до розглянутого явища;
аналіз розмірностей неспроможна провести поділу величин однакової розмірності, але мають різний фізичний зміст у рівняннях зв'язку.
Аналіз розмірностей не враховує умови однозначності явища, і тому вводить моновалентів (визначальних критеріїв подоби) в критеріальні рівняння, тобто. у методі «Аналізу розмірностей» відсутні прямі способи знаходження визначальних параметрів.Фактично цей метод застосовується тоді, коли параметри завдання вже визначено. Він дає занадто мало або взагалі нічого не дає для дослідження та перевірки тих фізичних даних, які використовуються для знаходження параметрів, за винятком суто інтуїтивного вибору їх із системи фізичнихПоказників. Аналіз розмірностей безсилий перевірити дотримання двох основних правил теорії подоби.
1. Включати до розгляду всі рівняння зв'язку даного явища.
2. Не вводити жодних інших рівнянь, що не належать до розглянутого явища.
З аналізу розмірностей не зрозумілі способи визначення безрозмірних комплексів, найбільш важливих для цього завдання, і немає можливості встановити, які з них забезпечать кращі співвідношення для приватних завдань. Аналіз розмірностей не вказує умов, за яких можна знехтувати одним або декількома комплексами, що є суттєвим для встановлення правил наближеної подоби та співвідношення для складних систем. Разом з цим аналіз розмірностей є простим і досить ефективним засобом знаходження залежностей у випадках, коли загальна картина явища ясна і з'ясована природа всіх складових елементів системи. Наприклад, у випадках із подібними рівняннями. Оскільки доводити подібність у разі не потрібно (воно дано спочатку), досить просто знайти безрозмірні комплекси. Аналіз розмірностей - найкращий вибір у подібних випадках. Простий і ефективний, він дозволяє досягати результату в найменшу кількість кроків.
ПОДІБНИКИ ТЕОРІЯ - вчення про умови подібності фіз. явищ. П. т. заснована на вченні про розмірності фіз. величин (див. Розмірний аналіз) і служить основою моделювання. П. т. встановлює критерії подібності разл. фіз. явищ, дозволяють з допомогою вивчати властивості самих явищ. Явні і неявні функціональні зв'язки між критеріями подібності, які отримують за допомогою П. т. (Т. Н. Критеріальні залежності) сприяють розумінню складних фпз. процесів і допомагають інтерпретувати результати як експеримент. досліджень, і число. розрахунків, обсяг яких бралопрогресивно зростає з розвитком числ. методів та вдосконалення ЕОМ. П. т. дозволяє формулювати фнз. закономірності та витягувати ідеї з величезної маси розрахункових або експерпм. результатів.
Фіз. процес (явище) може визначатися полем фіз. величин тобто розподілом цих величин у просторі з координатами х1, х2, х3 і в часі t:
У безрозмірній формі поле описується залежністю
де безрозмірна залежна змінна може являти собою або відношення до деякого характерного її значення або безрозмірну комбінацію, до якої обов'язково входить величина Те ж відноситься до безрозмірних величин
Перехід до безрозмірних змінних дозволяє встановлювати подобу полів фіз. величини. Фіз. явища, процеси чи системи подібні, якщо у подібні моменти часу у подібних точках простору значення змінних величин, що характеризують стан однієї системи, пропорц. відповідним величинам іншої системи. Фіз. подібність є узагальненням елементарного та наочного поняття геом. подоби, при якому існує пропорційність (подібність) подібних геом. елементів подібних фігур чи тіл. При фпз. Подібності поля відповідних (одноіменних) параметрів двох систем подібні до простору та часу. наприклад, при кінематич. подібності існує подоба полів швидкості для двох розглянутих рухів; при динамічній. подібності реалізується подоба систем діючих сил чи силових полів разл. фпз. природи (сил тяжіння, сил тиску, сил в'язкості тощо); механіч. подібність (подібність двох потоків рідини або газу, подібність двох пружних систем тощо) передбачає наявність геом., кінематич. та динампч. подоб; при подібності теплових процесів подібні відповідні поля темп-р і теплових потоків, приелектродинаміч. подоби - поля струмів, навантажень, потужностей, ел-магн. сил. Усі перелічені види подоби - окремі випадки фіз. подоби.
Два фіз. процесу або явища подібні, якщо за заданими характеристиками одного можна отримати характеристики іншого простим перерахунком, який аналогічний переходу від однієї системи одиниць вимірювання до іншої. Для здійснення перерахунку необхідні коеф. пропорційності (коеф. подоби) - "перехідні масштаби". Розмірні фіз. параметри, що входять у критерії подібності, можуть приймати для подібних систем значення, що сильно різняться, однаковими повинні бути лише безрозмірні критерії подібності. Це властивість подібних систем і є основою моделювання.
З розвитком досліджень складних фіз. і фіз-хім. процесів, що включають механіч., теплові, хім. та інші явища, розвиваються та методи П. т. для цих процесів; напр., встановлюються умови подібності процесів тертя і зносу вузлів і деталей машин, кінетики фіз-хім. перетворень, подоби та моделювання планетних атмосфер та ін. Якщо в аналізованих фіз. явищах чи системах існує рівність не всіх, а лише деяких незалежних критеріїв подібності, то говорять про неповну, або часткову, подобу. Такий випадок найб. часто зустрічається практично. При цьому важливо, щоб вплив критеріїв, рівність яких брало не дотримується, було незначно або малосуттєво на протікання аналізованих фіз. процесів.Практич. застосування П. т. дуже великі. Вона дає можливість попереднього якісно-теоретичного. аналізу та вибору системи визначальних параметрів складних фіз. явищ. П. т. - основа для правильної постановки експериментів та обробки їх результатів.У поєднанні з доповнить. міркуваннями, отриманими з ур-ний, що описують фіз. явище, зекспериментів чи числ. розрахунків, П. т. призводить до нових суттєвих результатів.