Моногенна функція
Функція комплексного змінного, що має кінцеву похідну. Точніше, функція, визначена на множині Екомплексної площини, зв. моногенної (щодо множини Е) в кінцевій неізольованій точці, якщо вона має в цій точці кінцеву похідну по змінному: Функція, моногенна в кожній неізольованій точці множини Е, зв. моногенної на Е. Якщо E = G-область площини, то функція, моногенна на G, зв. аналітичною функцією в області G. Якщо Ене є областю, то моногенні на Ефункції, взагалі кажучи, вже не мають характерних властивостей аналітич. цій. Однак якщо безліч Е, що не містить у своєму складі областей, є досить "масивним" поблизу більшості своїх точок (точніше, якщо доповнення до Єв площині є досить розрідженим поблизу більшості точок), то функції, моногенні на Е, мають в ослабленому вигляді багато властивостей аналітич. цій. У спробах розібратися у глибинних зв'язках між основними властивостями аналітич. цій поняття аналітич. ції узагальнювалося різними шляхами: за допомогою узагальнення її області визначення, узагальнення самого поняття похідної, ослаблення умов Кошп - Рімана, ослаблення умов теореми Морери тощо (див. [13] § 6). З цією ж метою для "худих" множин Е, напр, для відрізка виділялися т.з. Квазіаналітичні класи функцій. Вивчалися також функції, визначені на ніде не щільних досить потужних компактах Е, близькі аналітич. ціям у тому сенсі, що вони можуть бути з будь-якою точністю рівномірно наближені аналітич. ними або, що те саме, раціональними функціями змінної z. Нижче наведені деякі результати з перелічених напрямів.1. Функції моногенні в області. Якщо (при цьому і дійснозначні функції), то для аналітичності в області G достатньо (інеобхідно) виконання в кожній точці одночасно двох умов: 1) мають повні диференціали та за сукупністю дійсних змінних (x, y); 2) виконані умови Коші - Рімана: Умови цієї теореми послаблювалися і узагальнювалися. Напр., показано, що вимога існування повних диференціалів у і можна замінити істотно більш слабкою умовою обмеженості і, зберігши вимогу існування перших приватних похідних функцій і всюди в G, вимагати виконання умов Коші — Рімана лише майже всюди в G(в сенсі плоскої міри, Лебега) (див. [6]). Нехай - яка-небудь пара різних прямих, що перетинаються в точці z, R(z) - яка-небудь трійка, що виходять з z попарно неколлінеарних променів і Е(z) - яке-небудь вимірна множина, що має z своєю точкою щільності в сенсі Лебега. Аналітичність безперервної в Gфункції f(z) забезпечується кожною з наступних умов окремо (див. [3] - [5]): а) всюди в існує б) всюди в існує в) всюди в існує. Тут кожна з множин L(z), R(z), Е(z) — своє для кожної точки. Слід зазначити, що від f і z, але з залежить від Е(z); похідна зв. асимптотичної (апроксимативної) похідної, а функція, що має аеймптотич. похідну в точці z(відповідно області G), зв. асимптотично моногенної в точці z (відповідно G). Замість умови б) достатньо вимагати існування межі для2. Функції, моногенні на ніде не щільних множинах. Е. Борель [8] побудував таке досконале зв'язне безліч (континуум) Ебез внутрішніх точок і таку послідовність досконалих множин, що розширюється, що площа множини Епозитивна, і з моногенності f(z) на Е(або хоча б на кожній множині ) слід нескінченна диференційність по при кожному фіксованому. Можна вказати деякі порівнянозагальні достатні умови на Е, щоб Еволоділо цією властивістю або більш слабкою властивістю k-кратної диференційності по де k- наперед задане натуральне число. Знайдені також достатні умови на ніде не щільний континуум Для того, щоб для функцій, моногенних на ньому, були справедливі аналоги інтегральної теореми Коші, розкладання в ряд Тейлора і різні форми теореми єдиності, напр, така: якщо моногенні на Ефункції f1(z) і f2 (z) збігаються на деякій порції множини Е (тобто на непустому перетині Ес деяким відкритим колом), то на Е (див. [9]).3. Функції, близькі до аналітичних. Як відомо, будь-яка аналітична в області G функція f (z) є межею деякої послідовності раціональних функцій, яка сходить до f (z) рівномірно на кожному компакті. Розглядаючи досить масивний ніде не щільний континуум Її клас функцій для кожної з яких брало існує послідовність раціональних функцій, що рівномірно сходить до отримують ще одне узагальнення поняття області і поняття функції f(z), аналітичної на Е. Якщо Е - ніде не щільне безліч на , то завжди знайдеться функція, що не має похідної в жодній точці (див. [10]). Однак для кожного можна вказати умову на Е, при виконанні якого кожна функція матиме похідні , де замкнуто, (див. [11]). М. В. Келдиш побудував приклад ніде не щільного континууму Е, на к-ром для функцій, справедлива теорема єдиності у формі, наведеній наприкінці п. 2 (див. також [12]). (З приводу моногенних властивостей функцій з R(Е)в термінах функціонального аналізу див. [12] ч. I, § 17.) Досліджувалась також залежність моногенних властивостей функцій від швидкості наближення її за допомогою раціональних функцій. Літ.: [1] Федоров В. С, "Успіхи математичних наук", 1952, т. 7, ст. 2, с. 7 - 16; [2] Воhr H.. "Math. Z.",1918, Bd I, S. 403-20; [3] Меньшов Д. Є., "Fundam. Math.", 1935, v. 25 p. 59-97; [4] його ж, Les conditions de monogeneite, P., 1936; [5] його ж, "Матем. Зб.", 1936, т. .1, с. 189-210; [6] Толстов Р. П., Про криволінійний і повторний інтеграл, М.-Л. 1950 (Тр. Матем. Ін-та АН СРСР, т. 35); [7] Трохімчук Ю. Ю., Безперервні відображення та умови моногенності, М., 1963; [8] Borel E., Lecons sur les fonctions monogenes uniformes d'une variable complexe, P., 1917; [9] Селезньов A. І., "Докл. АН СРСР", 1956, т. 108 № 4, с. 591-94; 110] Долженко Є. П., там же, 1959, т. 125 № 5, с. 970-973; [11] його ж, там-таки, 1962, т. 143, №4, с. 771-74; [12] Підсумки науки та техніки. Сучасні проблеми математики, т. 4, М., 1975, с. 143-250: [13] Бермант А. Ф., Маркушевич А. І., у кн.: Математика в СРСР за тридцять років. 1917 - 1947 М.- Л., 1948, с. 401-406. Є. П. Долженка.