Морфізми груп
Поняття групи
Теорія груп
Теорія груп є основою сучасної алгебри. Початки її створили молодим геніальним математиком Еге. Галуа (1811-1832) як інструмент оцінки можливості розв'язання рівнянь вищих ступенів у радикалах. Однак сфера застосування та сфера інтерпретації теорії груп з того часу багаторазово розширилася. Одна з найбільш значних інтерпретацій для груп – різні типи симетрії.
Групу можна задати як алгебру з однією операцією Ä, яка задовольняє наступним законам:
1. Існування операції.
"xyz(x Ä (y Ä z)) = ((x Ä y) Ä z)
3. Існування одиниці (е)
4. Існування зворотного елемента.
"xy (x Ä y = y Ä x)
Виконання лише першого закону даєгрупоид. Якщо додатково виконується другий – напівгрупа (популярна при дослідженні властивостей формальних граматик).
Виконання першого, другого та третього законів даємоноїд.
Виконання аксіом з першої по четверту даєгрупу.
Якщо групи виконується також коммутативний закон, то група називаєтьсяабелевой.
Розглянемо обертання квадрата навколо центру до поєднання вершин.
4 3
a1 = 0 0 Як елементи – кути повороту.
a2 = 90 0 Як операція - довертання.
a3 = 180 0 Виконуються всі закони групи.
a4 = 270 0
Популярні з часів Галуа і так званіпідстановки. Можна записати підстановки, що відповідають кожному з чотирьох обертань попереднього прикладу:
æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö
ç ç ç ç ç ç ç
è1 2 3 4ø è4 1 2 3ø è3 4 1 2ø è2 3 4 1ø
А як операцію взяти композицію підстановок. Наприклад,
| = |
è2 3 4 1ø è2 3 4 1ø è3 4 1 2ø
В результаті також вийде група.
Візьмемо коріння рівняння x 4 – 1 = 0
- Група з операції множення.
Таким чином, ми розглянули кілька кінцевих груп, що містять чотири елементи. Ці групи є ізоморфними між собою.
Наприклад, можна відобразити один в одного «поодинокі» елементи:
а1 0 0 ç ç 1
Отже мова може йти про абстрактні групи, тобто про такі групи, для яких конкретна безліч і конкретна операція несуттєві.
Нехай f - деяке відображення елементів однієї групи в іншу або в ту саму і
f (a b) = f (a) f (b) a, b G; f(a), f(b) Î b2.
то кажуть, що f - гомоморфізм.
Якщо f(a)=F(b), тоді й лише тоді, коли a = b, то маємоізоморфізм (однозначний гомоморфізм).
Гомоморфізм групи в себе називається ендоморфізмом.
Ін'єктивний гомоморфізм називається мономорфізмом.
Сюр'єктивний гомоморфізм називаєтьсяепіморфізмом.
Ізоморфізм у себе називаєтьсяавтоморфізмом.
Приклад:
< . . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . - ендоморфізм, епіморфізм, мономорфізм, ізоморфізм, автоморфізм.