Московський десятикласник обігнав Ердеша у побудові гострокутних трикутників
Ідея доказу — подвоювати і трохи зміщувати точки «гострої множини» з кожним додаванням двох нових вимірів
Завдання Данцера та Грюнбауму формулюється дуже просто — яку найбільшу кількість точок у просторі можна помістити так, щоб будь-які три з них утворювали гострокутний трикутник. Очевидно, що на площині це число дорівнює трьом (будь-яка спроба поставити четверту точку призведе до виникнення тупого кута). Для тривимірного простору це число дорівнює п'яти. Для просторів вищої розмірності така кількість достеменно невідома.
Як розповідає один із учасників дискусії у фейсбуці, Олександр Полянський, спочатку Дмитро Захаров незалежно від Харанги отримав те саме поліпшення (приблизно до c×1,2 N ). Проте Андрій Райгородський, якому Дмитро розповів про результат, виявив статтю Харанги та «засмутив Діму». Проте математик не здався і знайшов принципово інший підхід до завдання. Побудова, використана школярем, дозволяє створювати «гострі множини» з 2 N/2 крапок. Як зазначають учасники дискусії, рішення Захарова досить просто — воно займає лише півсторінки.
В основі доказу лежить метод математичної індукції. Припустимо, що з розмірності N ми можемо побудувати «гостре безліч» з максимальної кількості точок (для N=2 і трьох ми вміємо це). Покажемо, як побудувати «гостру множину» з удвічі більшої кількості точок для простору розмірності N+2. Для цього акуратно роздвоїмо кожну точку вихідної множини так, щоб відстань між двома новими точками не перевищувала деякої величини. При цьому всі роздвоєння зробимо трохи різними один від одного в проекції на площину двох нових розмірностей. Тоді, якщо величину підібрано правильно (а це завждиможна зробити), нове безліч теж буде «гострим». Таке подвоєння можна продовжувати до безкінечності.
Важливо зауважити, що побудований приклад не відповідає на питання того, яка максимальна кількість точок в «гострій множині» для даної розмірності. Більше того, це число відоме лише в площині та тривимірному просторі, а для чотирьох-, п'яти- та шестивимірних просторів точної відповіді немає. Відомо, що «гостра множина» звичайно для будь-якої розмірності — кількість точок у ньому має бути меншою за кількість вершин у кубі відповідної розмірності (2 N ).
Раніше ми повідомляли про британського школяра, який відкрив у п'ятнадцять років нову екзопланету на основі аналізу даних астрономічного огляду WASP.