Найкращий шлях на Землі та на карті - Цікава астрономія
Намітивши крейдою дві точки на класній дошці, вчителька пропонує юному школяреві завдання: накреслити найкоротший шлях між обома точками.
Учень, подумавши, старанно виводить між ними звивисту лінію.
– Ось так найкоротший шлях! – дивується вчителька. – Хто тебе так навчив?
- Мій тато. Він водій таксі.
Креслення наївного школяра, звичайно, анекдотичний, але хіба не посміхнулися б ви, якби вам сказали, що пунктирна дуга на рис. 1 – найкоротший шлях від мису Доброї Надії до південного краю Австралії!
Ще разюче наступне твердження: зображений на рис. 2 кружний шлях з Японії до Панамського каналу коротше прямої лінії, проведеної між ними на тій же карті!
Мал. 1. На морській карті найкоротший шлях від мису Доброї Надії до південного краю Австралії позначається не прямою лінією («локсодромією»), а кривою («ортодромією»)
Все це схоже на жарт, а тим часом перед вами безперечні істини, добре відомі картографам.
Мал. 2. Здається неймовірним, що криволінійний шлях, що з'єднує на морській карті Йокогаму з Панамським каналом, коротше прямої лінії, проведеної між тими самими точками
Для роз'яснення питання доведеться сказати кілька слів про карти взагалі і морські зокрема. Зображення на папері частин земної поверхні - справа непроста навіть у принципі, тому що Земля - куля, а відомо, що жодну частину кульової поверхні не можна розгорнути на площині без складок та розривів. Мимоволі доводиться миритися з неминучими спотвореннями на картах. Придумано багато способів креслення карт, але всі карти не вільні від недоліків: на одних є спотворення одного роду, на інших іншого, але карт зовсім без спотворень немає.
Моряки користуються картами, накресленими поспособу старовинного голландського картографа та математика XVI ст. Меркатори. Спосіб цей називається "меркаторською проекцією". Дізнатися морську карту легко її прямокутною сіткою: меридіани зображені у вигляді ряду паралельних прямих ліній; кола широти – також прямими лініями, перпендикулярними до перших (див. рис. 5).
Уявіть, що потрібно знайти найкоротший шлях від одного океанського порту до іншого, що лежить на тій же паралелі. На океані всі шляхи доступні, і здійснити там подорож найкоротшим шляхом завжди можливо, якщо знати, як він пролягає. У нашому випадку природно думати, що найкоротший шлях йде вздовж тієї паралелі, на якій лежать обидва порти: адже на карті – це пряма лінія, а що може бути коротшим за прямий шлях! Але ми помиляємося: шлях паралелі зовсім не найкоротший.
Справді: на поверхні кулі найкоротша відстань між двома точками є дуга великого кола, що з'єднує їх. [1] Але коло паралелі - мале коло. Дуга великого кола менш викривлена, ніж дуга будь-якого малого кола, проведеного через ті дві точки: більшому радіусу відповідає менша кривизна. Натягніть на глобусі нитку між нашими двома точками (пор. мал. 3); ви переконаєтеся, що вона зовсім не ляже вздовж паралелі. Натягнута нитка - безперечний покажчик найкоротшого шляху, а якщо вона на глобусі не збігається з паралеллю, то і на морській карті найкоротший шлях не позначається прямою лінією: пригадаємо, що кола паралелей зображуються на такій карті прямими лініями, будь-яка лінія, що не збігається , є крива.
Мал. 3. Простий спосіб відшукання справді найкоротшого шляху між двома пунктами: треба на глобусі натягнути нитку між цими пунктами
Після сказаного стає зрозумілим, чому найкоротший шлях на морській карті зображається непрямий, а кривою лінією.
Розповідають, що при виборі напрямку для Миколаївської (нині Жовтневої) залізниці точилися нескінченні суперечки про те, яким шляхом її прокласти. Кінець суперечкам поклало втручання царя Миколи I, який вирішив завдання буквально прямолінійно: з'єднав Петербург з Москвою по лінійці. Якби це було зроблено на меркаторській карті, вийшла б конфузна несподіванка: замість прямої дорога вийшла б кривою.
Хто не уникає розрахунків, той нескладним обчисленням може переконатися, що шлях, що здається нам на карті кривим, насправді коротший за той, який ми готові вважати прямим. Нехай обидві наші гавані лежать на 60 паралелі і розділені відстанню в 60 °. (Чи існують такі дві гавані – для розрахунку, звичайно, байдуже.)
Мал. 4. До обчислення відстаней між точками А і В на кулі по дузі паралелі та по дузі великого кола
На рис. 4 точка О – центр земної кулі, АВ – дуга кола широти, у якому лежать гавані А і У; у ній 60 °. Центр кола широти – у точці З Уявимо, що з центру О земної кулі проведено через самі гавані дуга великого кола: її радіус OB = ОА = R; вона пройде близько до накресленої дуги АВ, але збігатиметься з нею.
Обчислимо довжину кожної дуги. Так як точки А і В лежать на широті 60 °, то радіуси ОА і ВВ складають з ОС (віссю земної кулі) кут 30 °. У прямокутному трикутнику АСО катет АС (=r), що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи АТ;
значить, r=R/2 Довжина дуги АВ становить одну шосту довжини кола широти, оскільки коло цей має вдвічі меншу довжину, ніж велике коло (відповідно вдвічі меншому радіусу), то довжина дуги малого кола
Щоб визначити тепер довжину дуги великого кола, проведеного між тими самими точками (тобто.найкоротшого шляху між ними), треба дізнатися величину кута АОВ. Хорда AS , що стягує дугу в 60 ° (малого кола), є сторона правильного шестикутника, вписаного в той же малий круг; тому АВ = r = R/2
Провівши пряму OD, що з'єднує центр О земної кулі із серединою D хорди АВ, отримуємо прямокутний трикутник ODA, де кут D – прямий:
DA = 1/2 AB та OA = R.
Звідси знаходимо (за таблицями):
Тепер вже неважко знайти довжину найкоротшого шляху в кілометрах. Розрахунок можна спростити, якщо згадати, що довжина хвилини великого кола земної кулі є мо
Ми дізнаємося, що шлях по колу широти, зображений на морській карті прямою лінією, становить 3333 км, а шлях по великому колу - по кривій на карті - 3213 км, тобто на 120 км коротше.
Озброївшись ниткою та маючи під руками глобус, ви легко можете перевірити правильність наших креслень та переконатися, що дуги великих кіл справді пролягають так, як показано на кресленнях. Зображений на рис. 1 ніби «прямий» морський шлях з Африки до Австралії становить 6020 миль, а «кривий» - 5450 миль, тобто коротше на 570 миль, або на 1050 км. "Прямий" на морській карті повітряний шлях з Лондона в Шанхай перерізає Каспійське море, тим часом як справді найкоротший шлях пролягає на північ від Петербурга. Зрозуміло, яку роль відіграють ці питання в економії часу та пального.
Якщо в епоху парусного судноплавства не завжди дорожили часом, тоді «час» ще не вважався «грошима», то з появою парових суден доводиться платити за кожну зайве витрачену тонну вугілля. Ось чому в наші дні ведуть судна справді найкоротшим шляхом, користуючись нерідко картами, виконаними не в меркаторській, а в так званій «центральній» проекції: на цих картах дуги великих кілзображуються прямими лініями.
Чому ж колишні мореплавці користувалися такими оманливими картами і обирали невигідні шляхи? Помилково думати, що за старих часів не знали про зараз зазначену особливість морських карт. Справа пояснюється, звичайно, не цим, а тим, що карти, накреслені за способом Меркатора, мають поряд з незручностями дуже цінними для моряків вигодами. Така карта по-перше зображує окремі невеликі частини земної поверхні без спотворення, зберігаючи кути контуру. Цьому не суперечить те, що з віддаленням від екватора всі контури помітно розтягуються. У високих широтах розтяг так значно, що морська карта вселяє людині, незнайомій з її особливостями, абсолютно хибне уявлення про справжню величину материків: Гренландія здається такої ж величини, як Африка, Аляска більше за Австралію, хоча Гренландія в 15 разів менша за Африку, а Аляска разом з Гренландією вдвічі менше за Австралію. Але моряка, добре знайомого з цими особливостями карти, вони не можуть ввести в оману. Він мириться з ними, тим більше що в межах невеликих ділянок морська карта дає точну подобу натури (рис. 5).
Проте морська карта дуже полегшує вирішення завдань штурманської практики. Це єдиний рід карт, на яких шлях корабля, що йде постійним курсом, зображується прямою лінією. Іти «постійним курсом» – означає триматися незмінно одного напряму, одного певного «румба», інакше кажучи, йти так, щоб перетинати всі меридіани під рівним кутом. Але цей шлях («локсодромія») може зобразитися прямою лінією тільки на такій карті, де всі меридіани – прямі лінії, паралельні один одному. [2] А оскільки на земній кулі кола широти перетинаються з меридіанами під прямими кутами, то на такій карті та кола широти повинні бути прямимилініями перпендикулярними до ліній меридіанів. Коротше кажучи, ми приходимо саме до тієї координатної сітки, яка є характерною особливістю морської карти.
Мал. 5. Морська або меркаторська карта земної кулі. На подібних картах сильно перебільшено розміри контурів віддалених від екватора. Що, наприклад, більше: Гренландія чи Австралія? (Відповідь у тексті)
Пристрасть моряків до карт Меркатора тепер зрозуміла. Бажаючи визначити курс, якого треба триматися, йдучи до призначеного порту, штурман прикладає лінійку до кінцевих точок шляху та вимірює кут, що складається нею з меридіанами. Тримаючись у відкритому морі весь цей напрям, штурман безпомилково доведе судно до мети. Ви бачите, що «локсодромія» – хоч і не найкоротший і не найекономніший, зате у відомому відношенні дуже зручний для моряка шлях. Щоб дійти, наприклад, від мису Доброї Надії до південного краю Австралії (див. рис. 1), треба незмінно триматися одного курсу S 87 °, 50 '. Тим часом, щоб довести судно до того ж кінцевого пункту найкоротшим шляхом (за «ортодромією»), доводиться, як видно з малюнка, безперервно змінювати курс судна: почати з курсу S 42°,50', а закінчити курсом N 53°,50 (у цьому випадку найкоротший шлях навіть і неможливий – він упирається в крижану стіну Антарктики).
Обидва шляхи – по «локсодромії» і «ортодромії» – збігаються тільки тоді, коли шлях по великому колу зображується на морській карті прямою лінією: при русі екватором або меридіаном. У всіх інших випадках ці шляхи різні.