Ньютон та аналіз нескінченно малих

Ісаак Ньютон — один із найвідоміших і найшанованіших вчених усіх часів. Хоча це часто не береться до уваги, але він найбільше зобов'язаний цій славі своїм здібностям до математики. Саме завдяки їм він помітно виділявся серед інших вчених того часу, і без них було б неможливим написання його головної праці — «Математичні засади натуральної філософії». Інакше кажучи, Ньютон відкрив «систему світу», завдяки чому, як вдало зауважив Лагранж, став найщасливішим із усіх учених, оскільки існує лише одна система світу, яку можна відкрити. Саме завдяки глибоким знанням математики, якими не мали його сучасники, Ньютон зміг підкріпити та обґрунтувати свої відкриття. За словами Вестфолла, «математика була першою та головною пристрастю Ньютона. Саме з математики він запозичив критерії логічної суворості, яких незмінно дотримувався протягом усього свого шляху науки. Ньютон збирався здійснити плавання невідомими океанами думки, з яких не повернулися багато шукачів пригод XVII століття. Ньютон не просто повернувся з цієї подорожі - він привіз із собою трофеї. Можливо, саме математична дисципліна допомогла йому досягти успіху».

Багато хто вважає, що Ньютон був виключно фізиком, точніше натурфілософом, або займався прикладною математикою. писав з цього приводу Дерек Том Уайтсайд, укладач прекрасного восьмитомника рукописів Ньютона з математики: «Ніколи не слід забувати, що математика була для Ньютона не просто набором інструментів для пошуку істини. Вона мала внутрішню красу і силу, що не залежить від зовнішніх причин і способів практичного застосування. Тим, хто не відчуває елегантності та сили математики як самостійноїдисципліни, я представляю Ньютона — «чистого» математика, який, як у біблійній метафорі, відійшов від світу до вежі зі слонової кістки в Кембриджі, де займався пошуками нових теорем, властивостей, алгоритмів та доказів, елегантних самих собою. І як дивно він використав свій талант і здібності! У той час у світі не було більш обдарованого та різнобічного математика, нікого, хто більше за нього розбирався б у алгебрі, геометрії та в тонкощах аналізу нескінченно малих».

З усіх математичних відкриттів Ньютона, поза сумнівами, відкриття аналізу нескінченно малих було найважливіше і мало найбільш значні наслідки.

Перша сторінка англійського видання «Аналізу».

Міркування Ньютона варто викласти докладніше. Для простоти ми наведемо окремий випадок, описаний самим Ньютоном, для площі, обмеженої кривою, яка задається такою формулою:

Ньютон діяв так.

Збільшимо на нескінченно малу величину, яку позначимо за (це позначення використовував сам Ньютон) абсцису х. Площа збільшиться на площу прямокутника з вершинами x, y(x), y(x + o) та x + o, як показано на ілюстрації. Візьмемо прямокутник зі сторонами o і v такою, що його площа дорівнюватиме згаданому збільшенню площі. Отримаємо:

Звівши обидві частини квадрат і спростивши рівність, отримаємо:

Розділивши обидві частини на о, отримаємо:

Якщо тепер ми приймемо приріст х нескінченно малим, тобто прирівняємо o до нуля, то v = y, і попередня формула набуде вигляду

Важливо відзначити, що Ньютон представив поняття флюенти та флюксії окремо як частину теорії та навів алгоритмічні правила, за допомогою яких можна було легко обчислити флюксію флюенту. Потім він застосував свою теорію для вирішення завдань продотичних, квадратурах, максимумах та мінімумах. Як ми вже згадували, саме завдяки цьому Ньютон став вважатися одним із творців математичного аналізу. Так, для вирішення завдань про максимуми і мінімуми він запропонував наступний спосіб: «Коли величина є можливо найбільшою або можливо найменшою, то в цей момент вона не тече ні вперед, ні назад. Справді, якби вона могла ще текти вперед, тобто зростати, то це означає, що до того вона, напевно, була меншою, ніж стала, а після того стане більше, ніж вона є. Справа була б зворотним чином, якби вона текла назад або спадала. Тому знайди її флюксію згідно з проблемою I і поклади її рівною нулю». Це знайомий нам спосіб обчислення похідної функції та прирівнювання її до нуля.

Про завдання розрахунку квадратури він писав: «Проблема IX: визначити площу якоїсь заданої кривої. Вирішення цієї проблеми залежить від визначення відношення флюентів по заданому відношенню флюксій». Іншими словами, йдеться про процес, зворотний обчислення флюксії; якщо говорити сучасною мовою - про процес, зворотний обчислення похідної, тобто про знаходження первісної. Тут Ньютон, по суті, викладає основну теорему аналізу та вказує, що її можна застосовувати для вирішення завдань про площі.

Літографічний портрет Огюстена Луї Коші, одного з найплодючіших математиків усіх часів.

ВИРОБНИЧА ПО НЬЮТОНУ

У «Початках» Ньютон наводить наступний доказ правила знаходження похідної добутку функцій: «Будь-який прямокутник, наприклад АВ, збільшений на безперервну флюенту, якщо відняти зі сторін А і В половини їх моментів а і b [під моментами розуміються збільшення], буде дорівнює: