Нормальний розподіл

Головна

Ціни

Оплата

Приклади рішень

Відгуки

Посилання

Теорія

Книги

Співпраця

Форум

Теорія / Теорія Імовірності / 3.5.Нормальний розподіл.

§ 3. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

5. Нормальний розподіл.

Кажуть, що випадкова величинанормально розподіленаабо підпорядковуєтьсязакону розподілу Гауса, якщо її щільність розподілу має вигляд

(28)

деa- будь-яке дійсне число, а0. Сенс параметрівaі буде встановлений надалі (див. §4, п. 2). Виходячи із зв'язку між щільністю розподілу та функцією розподілуF(x)[див. формулу (22)], маємо Графік функції симетричний щодо прямоїx=a. Нескладні дослідження показують, що функція досягає максимуму при x=a1, а її графік має точки перегину при і . При графік функції асимптотично наближається до осі Ox. Можна показати, що при збільшенні крива густини розподілу стає більш пологою. Навпаки, при зменшенні графіка щільності розподілу стискається до осі симетрії. Приa=0віссю симетрії є вісьOy. На рис. 11 зображено два графіки функціїy=. ГрафікIвідповідає значеннямa=0,=1, а графікII- значеннямa=0,=1/2.Покажемо, що функція задовольняє умові (24), тобто. за будь-якихaі виконується співвідношення Справді, зробимо в цьому інтегралі заміну змінної, вважаючи . Тоді У силу парностіпідінтегральної функції маємо Отже, Але, У результаті отримаємо

(29)

Знайдемо ймовірність. За формулою (23) маємо Зробимо в цьому інтегралі заміну змінної, знову вважаючи. Тоді , і

(30)

Як знаємо, інтеграл не береться в елементарних функціях. Тому для обчислення певного інтегралу (30) вводиться функція

(31)

названаінтегралом ймовірностей. Для цієї функції складено таблиці її значень для різних значень аргументу (див. табл. II Додатка). Використовуючи формулу (31) отримаємо Отже,

(32)

Легко показати, що функціяФ(х)(інтеграл ймовірностей) має наступні властивості. 1 °.Ф (0) = 02 °. ; при величина практично дорівнює1/2(див. табл. II). 3 °.Ф(-x)=-Ф(х), тобто. Інтеграл ймовірностей є непарною функцією.

Графік функціїФ(х)зображено на рис. 12.

Таким чином, якщо випадкова величина нормально розподілена з параметрамиaі , то ймовірність того, що випадкова величина задовольняє нерівності, визначається співвідношенням (32). Нехай0. Знайдемо можливість, що нормально розподілена випадкова величина відхилиться від параметраaза абсолютною величиною трохи більше, ніж , тобто. . Оскільки нерівність рівносильна нерівностям , то вважаючи у співвідношенні (32) , отримаємо Внаслідок того, що інтеграл ймовірностей - непарна функція, маємо

(33)

Приклад 1.Нехай випадкова величина підпорядковується нормальному закону розподілу ймовірностей з параметрамиa=0,=2. Визначити: (Рішення) 1) ; 2);

Приклад 2.У якихмежах повинна змінюватися випадкова величина, що підпорядковується нормальному закону розподілу, щоб (Рішення)

З останнього прикладу випливає, що якщо випадкова величина підпорядковується нормальному закону розподілу, то можна стверджувати з ймовірністю, що дорівнює0,9973, що випадкова величина знаходиться в інтервалі. Оскільки ця ймовірність близька до одиниці, можна вважати, що значення нормально розподіленої випадкової величини мало виходять межі інтервалу . Цей факт називаютьправилом трьох сигм.

---