Нормована асоціативна алгебра
Нормована асоціативна алгебра— асоціативна алгебра над полем дійсних чи комплексних чисел, що є нормованим простором, де норма задовольняє умовісубмультиплікативності:
∀ x , y : ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ .
Більше того, нормовану асоціативну алгебру можна визначити над будь-яким нормованим полем. У старих книгах нормовані асоціативні алгебри можуть називатися нормованими кільцями.
Іноді наводиться умова, що послаблює умову субмультиплікативності на константу:
0\ \forall x,y:\x\,y\\ \leq C\x\\,\y\>"> ∃ C > 0 ∀ x , y : ? y ‖ 0\ \forall x,y:\x\,y\\ \leq C\x\\,\y\ 0\ \forall x,y:\x\,y\\leq C\x \\,\y\>"> .
Нічого нового воно, по суті, не дозволяє, тому що якщоC= 0, то алгебра тривіальна, а якщоC> 0 то після множення норми на C нова (еквівалентна) норма буде субмультиплікативна без константи.
Будь-яка банахова алгебра за визначенням – метрично повна нормована асоціативна алгебра.
Алгебра обмежених лінійних операторів у нормованому просторі (не обов'язково банаховому) — також є нормованою асоціативною алгеброю.
Нормована асоціативна алгебра є топологічним кільцем.
Метричне поповнення нормованої асоціативної алгебри є банахової алгебри.