НОУ ІНТУІТ, Лекція, Перевірка простої гіпотези щодо простої альтернативи
Байєсовське рішення як перевірка щодо правдоподібності
Розглянемо статистичну гру (17.17) за m=n=2 . Прикладом операції такого роду є завдання діагностики туберкульозу. Використовуватимемо це завдання для ілюстрації основних положень, що вводяться нижче.
Приймемо, що функція втрат включає лише витрати, викликані помилками під час постановки діагнозу. У цьому втрати L(1,2) , пов'язані з помилковим напрямом лікуванняздоровоголюдини, приймемо за одиницю втрат. Тоді
Відповідно до зауваження про прості гіпотези (див. "Вибір рішень при невідомих станах природи (ігри з природою)"), будь-яка статистична гра з функцією втрат виду (18.1) може інтерпретуватися як вибір однієї з двох простих гіпотез. При цьому альтернатива також відповідає простий гіпотезі.
У завданнях вибору рішень, котрим характерна зазначена відмінність наслідків, викликаних помилками, більш серйозну помилку, що веде до великих втрат, прийнято називати помилкою першого роду. Друга можлива помилка називається помилкою другого роду.
Зазначена відмінність у класифікації помилок веде до відповідного розрізнення двох аналізованих гіпотез. Якщовідкиданнягіпотези, що єістинною, веде до помилки першого роду, то її називаютьвипробуваною гіпотезоюабо нуль-гіпотезою. У прикладі діагностики туберкульозу такою гіпотезою є наявність захворювання (тобто факт породження результату випробування випадковою величиною з розподілом p2(z) ).
Матриця втрат, що відповідає функції (18,1), та введені найменування для станів природи ,дій статистика та помилок представлені в табл. 4.3.
Введемо позначення для апріорної ймовірності першого стану природи, тобто. приймемо, що