НОУ ІНТУІТ, Лекція, Складні поверхні та основи планування управління роботом-верстатом для них
Апроксимація складних просторових поверхонь, що задаються координатами опорних точок.
Для апроксимації складних просторових поверхонь, що задаються координатами опорних точок поверхні, доцільно застосовувати багатовимірні поліноми. На відміну від опису поверхні сплайн-функціями даний метод дозволяє виключити коливальний процес, який виникає в результаті збігу точок поверхні в опорних точках і відсутність гладкості отриманого опису в проміжках між опорними точками поверхні. В даному випадку апроксимація поверхні між двома точками ґрунтується на знанні координат опорної точки та приватних похідних у цій точці. Це не накладає вимог на гладкість поверхні між опорними точками.
При описі гладких поверхонь поліномами необхідно знати координати попередніх та подальших опорних точок поверхні. І тут забезпечується згладжування поверхні між опорними точками. Розглянемо застосування цих цілей багатовимірних поліномів Лагранжа , залежних від двох змінних. Метод супроводжуючого тригранника, розглянутий вище для опису поверхонь, у поєднанні з поліномами Лагранжа дає можливість планувати траєкторію переміщення інструменту щодо деталі та формувати управління маніпуляторами для поверхонь, що задаються координатами опорних точок.
Опис поверхні поліномами полягає у послідовному вирішенні наступних завдань:
- Наближений опис поверхні поліномами за заданими координатами опорних точок поверхні системи координат (XYZ)д .
- Визначення орієнтації супроводжуючого тригранника щодо осей системи координат (XYZ).
- Знаходження елементів матриці, що визначає закон переміщення інструменту щодо деталі.
Завдання 1 полягає у отриманні коефіцієнтів поліномів Лагранжа за заданими координатами опорних точок поверхні. Інтерполяційні поліноми Лагранжа однією змінною дозволяють апроксимувати функцію y=f(x) у системі координат деталі (XYZ)д , що задається координатами опорних точок (xi,yi)
де коефіцієнти поліномів Лагранжа p(xi) визначаються через значення xi, yi в опорних точках
де , , n - Ступінь полінома.
Поліном Лагранжа двох змінних на поверхні, представленої на рис. 11.3, за аналогією з поліномом однієї змінної має вигляд
де - кількість опорних перерізів поверхні вздовж осі Xд; - Кількість опорних перерізів поверхні вздовж осі Zд; pij - Коефіцієнти полінома, що визначаються через координати опорних точок поверхні.
Розглянемо апроксимацію поверхні поліномами Лагранжа другого ступеня.
При інтерполяції поверхні поліномами двох змінних необхідно, щоб опорні точки поверхні (вузли інтерполяції) утворювали сітку. Найбільш зручною є прямокутна сітка з рівномірним розподілом клітин. В цьому випадку поверхня, що представляється координатами вузлів прямокутної сітки (рис. 11.3 а), залежно від розташування поточних координат (z, x) поверхні послідовно "накривається" прямокутником (рис. 11.3, б). При цьому для більш точної апроксимації необхідно, щоб поточні координати поверхні (z,x) знаходилися в області центру прямокутника, обмеженого координатами
Послідовність вибору опорних точок, що описують задану обмежену область поверхні, де проходить запланована траєкторія, полягає в тому, що всі наступні опорні точки поверхнівибираються лише після виходу i-ї точки запланованої траєкторії із центру прямокутника (рис. 11.3, б).
Постійні коефіцієнти полінома pij (11.8) визначаються для кожного елемента поверхні через координати відомих опорних точок поверхні
З урахуванням прийнятих позначень поліном (11.8) наводиться до вигляду
де коефіцієнти обчислюються через постійні pij і координати опорних точок поверхні.