Обчислення координат пунктів розімкнутого лінійно-кутового ходу
Кожен пункт лінійно-кутового ходу має дві координати X і Y, які є невідомими і які потрібно знайти. Загальну кількість пунктів у ході позначимо через n, тоді кількість невідомих буде 2 * (n - 2), оскільки у двох пунктів (початкових початкового та кінцевого) координати відомі. Для знаходження 2 * (n - 2) невідомих достатньо виконати 2 * (n - 2) вимірів.
Підрахуємо, скільки вимірів виконується в розімкнутому лінійно-кутовому ході: на n пунктах виміряно n кутів - по одному на кожному пункті, виміряні також ( n - 1 ) сторін ходу, всього виходить ( 2 * n - 1 ) вимірів (рис.2.18) .
Різниця між кількістю виконаних вимірювань та кількістю необхідних вимірювань дорівнює:
(2.65)
тобто три виміри є надмірними: це кут на передостанньому пункті ходу, кут на останньому пункті ходу і остання сторона ходу. Проте ці вимірювання виконані, і їх необхідно використовувати при обчисленні координат пунктів ходу.
У геодезичних побудовах кожен надмірний вимір породжує якусь умову, тому кількість умов дорівнює кількості надлишкових вимірів; у розімкнутому лінійно-кутовому ході повинні виконуватися три умови: умова дирекційних кутів та дві координатні умови.
Умова дирекційних кутів. Обчислимо послідовно дирекційні кути всіх сторін ходу, використовуючи формулу передачі кута дирекційного на наступну сторону ходу:
Складемо ці рівності та отримаємо:
звідки і (2.67)
Це - математичний запис першого геометричного умови в розімкнутому лінійно-кутовому ході. Для правих кутів повороту воно запишеться так:
(2.68)
Сума кутів, підрахована за формулами (2.67) та (2.68), називаєтьсятеоретичною сумою кутів ходу. Сума виміряних кутів внаслідок помилок вимірів, як правило, відрізняється від теоретичної суми на деяку величину, яку називають кутовою нев'язкою і позначається fβ:
(2.69)
Допустиме значення кутової нев'язки можна розглядати як граничну помилку суми виміряних кутів:
(2.70)
Використовуємо відому формулу з теорії помилок знаходження середньої квадратичної помилки функції як суми аргументів (розділ 1.11.2):
(2.71)
При отримаємо або (2.72)
Після підстановки (2.72) (2.70) отримуємо:
(2.73)
Для теодолітних ходів mβ = 30", тому:
(2.74)
Одним з етапів зрівнювання є введення поправок у виміряні величини з метою приведення їх у відповідність до геометричних умов. Позначимо виправлення у виміряний кут Vβ і запишемо умову:
звідки випливає, що:
(2.75)
тобто, поправки в кути слід вибрати так, щоб їх сума дорівнювала кутової нев'язки з протилежним знаком.
У рівнянні (2.75) n невідомих і для його вирішення необхідно накласти на поправки Vβ (n-1) додаткових умов; найпростішим варіантом таких умов буде:
(2.76)
тобто всі поправки у виміряні кути однакові. У цьому випадку рішення рівняння (2.75) виходить у вигляді:
(2.77)
це означає, що кутова нев'язка fβ розподіляється зі зворотним знаком порівну у всі виміряні кути.
Виправлені значення кутів обчислюються за такою формулою:
(2.78)
По виправлених кутах повороту обчислюють дирекційні кути всіх сторін ходу; збіг обчисленого та заданого значень кінцевого вихідного дирекційного кута є контролем правильності обробки кутових вимірювань.
Координатні умови. Вирішуючи послідовно пряме геодезичне завдання, обчислимо збільшення координат по кожній стороні ходу Xi і Yi. Координати пунктів ходу отримаємо за формулами:
(2.79)
Складемо ці рівності та отримаємо для прирощень ΔXi:
Після наведення подібних маємо:
або
(2.80)
Аналогічна формула для суми прирощень ΔY має вигляд:
(2.81)
Вийшло ще дві умови (2.80) і (2.81), які називаються координатними. Суми збільшення координат, підраховані за цими формулами, називаються теоретичними сумами збільшення. Внаслідок помилок вимірювання сторін і спрощеного способу розподілу кутової нев'язки суми обчислених прирощень координат у загальному випадку не дорівнюватимуть теоретичним сумам; виникають звані координатні нев'язки ходу:
(2.82)
за якими обчислюють абсолютну нев'язку ходу:
(2.83)
і потім відносну нев'язку ходу:
(2.84)
Зрівняння прирощень X і Y виконують наступним чином.
Спочатку записують суми виправлених прирощень:
і прирівнюють їх до теоретичних сум:
звідки випливає, що:
(2.85)
У цих рівняннях по ( n - 1 ) невідомих і їх вирішення необхідно накласти на поправки VX і VY додаткові умови. На практиці поправки до збільшення координат обчислюють за формулами:
(2.91)
які відповідають умові "поправки до збільшення координат пропорційні довжинам сторін".
Розглянутий спосіб обробки вимірювань у лінійно-кутовому ході можна назвати способом послідовного розподілу нев'язок; Суворе зрівнювання лінійно-кутового ходу виконується за методом найменших квадратів.
Після вирівнювання одиночного лінійно-кутового ходупомилки становища його пунктів неоднакові; вони зростають від початку та кінця ходу до його середини, і найбільшу помилку становища має пункт у середині ходу. У разі наближеного вирівнювання ця помилка оцінюється половиною абсолютної нев'язки ходу fs. При строгому зрівнюванні ходу виробляється суцільна оцінка точності, тобто обчислюються помилки положення кожного пункту ходу, помилки дирекційних кутів всіх сторін ходу, і навіть помилки зрівняних значень кутів і сторін ходу.