Оборотний елемент
Зворотним елементом, а такожодиницею кільцяабодільником одиниці, називається всякий елемент a кільця, для якого існує зворотний елемент щодо множення, тобто такий елемент b , що a b = b a = e b = b = e> , деe- одиничний елемент кільця. Далі під словом "кільце" мається на увазі "кільце з одиничним елементом".
Багато всіх оборотних елементів кільця утворює мультиплікативну групу, званугрупою одиницьабогрупою оборотних елементів.
Якщо a — дільник одиниці, то елементи, які у вигляді a x x> або x a > називаються асоційованими з x .
Зазвичай поняття дільника одиниці та асоційованого елемента використовуються для областей цілісності.
Оборотні елементи кільцяRутворюють групуU(R) за множенням,групу одиницькільцяR. Інші загальноприйняті позначення -R× ,R* іE(R) (від німецькоїEinheit).
У комутативному кільціRгрупа одиницьU(R) діє наRза допомогою множення. Орбіти цих дій називаються множинами асоційованих елементів; іншими словами, є відношення еквівалентності
наR, званеасоційованістю, де
означає, що існує одиницяu, така, щоr=us.