Операційне обчислення
Операційне обчислення— один із методів математичного аналізу, що дозволяє у ряді випадків за допомогою простих засобів вирішувати складні математичні завдання.
Зміст
У середині XIX століття з'явився ряд творів, присвячених так званому символічному обчисленню і застосуванню його до вирішення деяких типів лінійних диференціальних рівнянь. Сутність символічного обчислення полягає в тому, що вводяться до розгляду та належним чином інтерпретуються функції оператора диференціювання p = d d t > (Див. Теорія операторів). Серед творів із символічного обчислення слід відзначити вийшла в 1862 році в Києві ґрунтовну монографію професора-математика М. Є. Ващенко-Захарченко «Символічне обчислення та додаток його до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь». У ній поставлені та вирішені основні завдання того методу, який надалі отримав назву операційного.
У 1892 році з'явилися роботи англійського вченого О. Хевісайда, присвячені застосуванню методу символічного обчислення до вирішення задач з теорії поширення електричних коливань у проводах. На відміну від своїх попередників, Хевісайд визначив зворотний оператор однозначно, вважаючи 1 p f ( t ) = ∫ 0 t f ( u ) d u
>f(t)=\int \limits _^\!f(u)\,du> і рахуючи f ( u ) = 0 для u 0
- Лінійність
Оригінал лінійної комбінації функцій дорівнює лінійній комбінації зображень з тими самими коефіцієнтами.
a ⋅ f ( t ) + b ⋅ g ( t ) ⇒ a ⋅ F ( p ) + b ⋅ G ( p ) ,
де a і b - довільні комплексні числа.
| C | C p >> | t ⋅ sin ω t \omega t> | 2 pω ( p 2 + ω 2 ) 2 +\omega^)^>>> | t ⋅ sh ω t \omega t> | 2 p ω ( p 2 − ω 2 ) 2 -\omega^)^>>> |
| і t > | 1 p − a >> | t ⋅ cos ω t \omega t> | p 2 − ω 2 ( p 2 + ω 2 ) 2 -\omega^>+\omega^)^>>> | t ⋅ ch ω t \omega t> | p 2 + ω 2 ( p 2 − ω 2 ) 2 +\omega^>-\omega^)^>>> |
| sin ω t \omega t> | ω p 2 + ω 2 +\omega ^>>> | sh ω t \omega t> | ω p 2 − ω 2 -\omega ^>>> | t n > | n ! p n + 1 >>> |
| cos ω t \omega t> | p p 2 + ω 2 +\omega ^>>> | ch ω t \omega t> | p p 2 − ω 2 -\omega ^>>> | t a | Γ ( a + 1 ) p a + 1 >>> |
| e a t sin ω t \sin \omega t> | ω ( p − a ) 2 + ω 2 +\omega ^>>> | e a t sh ω t \назва оператора \omega t> | ω ( p − a ) 2 − ω 2 -\omega ^>>> | e a t t n t^> | n ! ( p − a ) n + 1 >>> |
| e a t cos ω t \cos \omega t> | p − a ( p − a ) 2 + ω 2 +\omega ^>>> | e a t ch ω t \назва оператора \omega t> | p − a ( p − a ) 2 − ω 2 -\omega ^>>> |
По той бік RL-реєстру. В неоторий моммоврни t=0 К замыкается. Повернемося до RL-рецепту з пляжу.
Рішення традиційним методом
Якщо ви хочете поїхати в Колумбус, ви можете отримати посмішку на обличчі Опис сторінки:
де перший член пишет падеиенапруги на резисторі R, а другий - на індуктивності L.
U = Rab + L ( a b + a b ) ; U = a (R b + L b ') + L a 'b.
Оскільки один із співмножників a, b можна вибрати довільно, виберемо b так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю:
З урахуванням обраного значення b диференціальне рівняння наводиться до виду
Отримуємо вираз для струму
Значення постійної інтегрування знаходимо з умови, що у момент t=0 струму в ланцюзі був:
Рішення операторним методом
Знайдемо зображення кожного із доданків диференціального рівняння:
Отримуємо таке зображення диференціального рівняння
З останнього виразу знайдемо зображення струму:
Таким чином, рішення зводиться до знаходження оригіналу струму за відомим зображенням. Розкладемо праву частину рівняння на елементарні дроби:
Знайдемо оригінали елементів останнього виразу:
Операційне літочислення надзвичайно зручне в електротехніці для розрахунку динамічних режимів різних ланцюгів. Алгоритм розрахунку наступний.
1) Усі елементи ланцюга розглядаємо як опору Zi, величини яких знаходимо виходячи із зображень перехідних функцій відповідних елементів.
Наприклад, для резистора:
u = 1 C ∫ i d t ⇒ U = I p C ⇒ Z C = 1 p C . >\int >
2) Використовуючи зазначені значення опорів, знаходимо зображення струмів у ланцюзі, використовуючи стандартні методи розрахунку ланцюгів, які застосовуються в електротехніці.
3) Маючи зображення струмів у ланцюзі, знаходимо оригінали, які є рішенням диференціальних рівнянь, що описують ланцюг.
Цікаво відзначити, що отримані вирази для операторного опору різних елементів з точністю до перетворення
збігаються звідповідними виразами для опорів у ланцюгах змінного струму: