Опис електронно-позитронних хвиль та електромагнітного поля за допомогою єдиного рівняння
Опис електронно-позитронних хвиль та електромагнітного поля за допомогою єдиного рівняння. Можливість існування псевдоскалярного поля, спорідненого з електромагнітним.
Пропонується хвильове рівняння у просторі 7 змінних. Його можна розглядати як релятивістське узагальнення рівняння, що у результаті квантування вільного руху симетричного твердого тіла (кульового дзиги).
7-мірний простір «конструюється» таким чином: до чотиривимірного простору-часу додана група SO(3), параметризована через кути Ейлера (або, іншими словами, різноманіття групи SO(3)),
Причому передбачається, що окрім звичайних граничних умов у «кутовому» просторі
можуть мати місце загальніші умови:
у разі дійсної функції U.
Це дозволяє рівнянню мати рішення, пропорційні наступним функціям (представленим у вигляді вектора-стовпця):
Уточню, що кожна з цих чотирьох функцій є рішенням кутової частини наведеного вище рівняння.
Такі функції-орти названі функціями половинного спина (звернемо увагу на множник ½ у показниках експонент). Можлива і пропорційність функцій одиничного спина
Крім одиничного і половинного спинів, можливі й інші значення – 3/2, 2, а також 0, що відповідає відсутності залежності від кутів (кутів Ейлера). Але ми тут обмежуємось лише розглядом випадків ½,1.
Зауважимо, що чотиривимірне простір-час і тривимірне викривлене простір групи SO(3) не можна вважати повністю незалежними один від одного. Повороту у звичайномутривимірному просторі відповідатиме певне перетворення координат у просторі SO(3). Деяким поворотам буде відповідати просто «зсув» кутової координати SO(3):
Якщо шукати рішення у вигляді
після підставлення вихідне рівняння отримаємо співвідношення для компонентів e, що залежать від просторових координат і часу
Після аналогічної процедури, проведеної для функцій-ортів із одиничним спином, ми отримаємо схожі рівняння, але без дисперсійного члена.
Отже, рівняння (1) описує і поле з половинним спином, і поле з одиничним спином (а також поля з іншими значеннями спина, але на них у цій роботі не акцентується увага). Враховуючи, що явища взаємодії та розпаду частинок (відповідних полям) виявляють подібність до процесів нелінійної взаємодії хвиль у сильнодиспергуючому середовищі [1,2] (зокрема, виконуються певні закони збереження і в тому і в іншому випадку), спробуємо ввести квадратичну нелінійність до рівняння (1):
Рішення будемо шукати у вигляді
Між U 0 і W 0 можна робити різниці, оскільки відповідні функції-орти збігаються.
Підставивши вираз (3) до рівняння (2), ми отримаємо складний вираз квадратичного нелінійного члена. Далі шукаються проекції цього квадратичного члена різні функції-орти. Для цього проводиться домноження на функцію, комплексно-сполучену тією, на яку шукається проекція, далі проводиться інтегрування виразу, що вийшов (F) по кутах:
Межі інтегрування такі: по від 0 до , по та від 0 до 2. Таким чином, фактично проводиться усереднення по кутовому простору.
У результаті виходять такі системи рівнянь:
Це для мод половинного спина. Для мод одиничного спина:
Маєсенс зробити такі перетворення:
При цьому поля, що виходять, можна вважати дійсними, а не комплексними (як і виходять після аналогічних перетворень функції-орти).
Система рівнянь для полів половинного та одиничного спина після цих перетворень набуває такого вигляду:
Якщо перейти до лагранжевого формалізму, то нелінійні члени в рівняннях системи (4), відповідальні за взаємодію полів з половинним та одиничним спином, можна отримати з такої добавки до лагранжіану:
Цей вираз можна записати в матричному вигляді:
Перетворимо його, використовуючи набір матриць, частина якого збігається, очевидно, з деякими матрицями Дірака.
У разі використання гамільтонова формалізму цей вираз увійде до гамільтоніану з протилежним знаком.
Якщо вважати поле електронно-позитронним полем (яке зазвичай описується рівнянням Дірака), виникає питання про фізичному сенсі полів одиничного спина A і B.
Запишемо добавку до щільності лагранжіана, відповідальну за взаємодію електронів з електромагнітним полем [3]:
Якщо порівняти співвідношення (6) і (7), видно, що величина A 2 пропорційна A x (x-компонент звичайного векторного потенціалу електромагнітного поля), а величина A 1 - A z . Величину A 0 природно поставити у відповідність скалярному потенціалу електромагнітного поля, правда у вираз (6) входить матриця 0 , а не одинична матриця. Але щільність заряду, обчислена з використанням матриці 0 , більше відповідає фізичній реальності (ніж щільність заряду, що випливає з рівняння Дірака), оскільки є знакозмінною.
Яка величина відповідає компоненту A y векторного потенціалу? Якщо одна з величин B 1 B 2 то якому полю відповідає друга? Дляз'ясування цих питань ми скористаємося процедурою отримання нерелятивістського наближення для дираківського струму та заряду [4]. Проводячи аналогічні викладки та використовуючи замість матриць Паулі матриці
зробимо такі висновки:
величина A y (y-компонента векторного потенціалу) пропорційна до величини B 2 . Нерелятивістське наближення для відповідного струму дорівнює y-компоненті звичайного (шредінгерівського) струму, помноженої на i (уявну одиницю).
Компонента B1 відповідає псевдоскалярному полю. Вираз для щільності відповідного псевдоскалярного струму, що збуджує це поле, має такий вигляд:
де - двокомпонентна функція хвильова електрона, а - вектор, складений з матриць Паулі.
У нерелятивістській межі для плоскої хвилі виду
(на нормуванні амплітуд F ми тут не зупиняємось) отримуємо величину
Видно, що псевдоскалярний струм пропорційний добутку спина на звичайний струм. Також його величину можна розглядати як пропорційну так званій спіральності частки
Якщо виразити щільність псевдоскалярного струму через спин, виходить співвідношення
Гамільтоніан частинки зі спином, що знаходиться в псевдоскалярному полі W, матиме такий вигляд:
ВИСНОВОК: при пропусканні високочастотного струму через намагнічений феромагнітний стрижень, а також при постановці деяких експериментів зі спиновими хвилями слід очікувати випромінювання особливого псевдоскалярного поля, спорідненого з електромагнітним. Випромінюючим об'єктом для цього поля є не струм, а скалярний добуток струму на спин. Дія цього поля частинку залежить від орієнтації її моменту імпульсу.
1) М.І.Рабінович, Д.І.Трубецьков «Вступ до теорії коливань і хвиль» М. “Наука” 1984.
М.Б.Виноградова,О.В.Руденко, А.П.Сухоруков «Теорія хвиль»» М. "Наука" 1979.
3) В.Б.Берестецький, Е.М.Ліфшиц, Л.П.Пітаєвський «Квантова електродинаміка» М. "Наука" 1989.
4) А. С. Давидов "Квантова механіка" М. "Наука" 1973.