6.4. Додаток векторної алгебри та аналітичної геометрії. Розрахунок піраміди

Василь Стаханов 2 роки тому Переглядів:

1 Умови завдань Розрахунково-графічна робота 9 4 Додаток векторної алгебри та аналітичної геометрії Розрахунок піраміди Вибрати в декартовій прямокутній системі координат чотири довільні точки A B C D так щоб вони не лежали в жодній з координатних площин Перевірити чи не належать ці точки однієї площини (якщо всі вони розташовані в одній площині слід змінити координати однієї з точок) Перевірити чи не є трикутник Δ C рівнобедреним (у разі ствердної відповіді змініть координати однієї з точок) Розглянути піраміду DC з вершинами в точках A B C D і вибравши в якості основи піраміди ΔC визначити або скласти: Можливі рівняння площини містить точки A B C Можливі рівняння прямої l проходить через точки і B Площа ΔC 4 В ΔC знайти висоту C опущену з вершини С на бік координати основи висоти (точки E ) і скласти рівняння прямої l містить цю висоту CE В і C знайти СМ і скласти рівняння прямої lcм містить медіану СМ В ΔC знайти бісектрису СК кута ACB і скласти рівняння прямої l містить бісектрису Завдання розв'язати двома способами Розрахунки в піраміді DC Скласти рівняння прямої ldh містить висоту пірамид між гранями C і ADB 4 Знайти кут між ребром DA і основою піраміди 4 Скласти рівняння прямих, що схрещуються l і l 4 Знайти кут між прямими l і l CD 4 Знайти відстань між прямими (двома способами), що схрещуються, CD A CК DH і знайти її довжину Завдання вирішити Коментар для вирішення завдань Завдання Виберемо чотири точки так щоб вони не лежали в жодній з координатних площин A ( ) B ( ) C ( ) D( 4)Для цього слід розглянути три вектори AC AD і якщо вектори компланарні то точки належать одній площині Так як A B ( ) AC ( ) AD ( ) і

2 Розрахунково-графічна робота то точки A B C D в одній площині не лежать ( AC AD) 4 Перевіримо, чи не є Δ C рівнобедреним Для цього знайдемо довжини сторін трикутника: + + AC AD + 4 Серед сторін немає рівних і тому Розглянемо ΔC ΔC не є рівнобедреним Складемо різні рівняння площини π, що містить точки A B C Загальне рівняння площини знайдемо як рівняння площини, що проходить через три точки (умова компланарності векторів AM AC ): x y + z + або ( x )( ) ( y + )( ) + ( z + )( 4 ) або x + y z + 8 Параметричне рівняння площини π Початковою точкою площини виберемо точку A а в якості напрямних векторів площини візьмемо вектори AC Отримаємо множенням загального рівняння площини на нормуючий множник Воно має наступний вигляд: μ + + ( x y + z 8) Рівняння площини у відрізках отримаємо із загального рівняння: x y z Випишемо різні види рівняння прямої l проходить через точки A і B Приймемо за початкову точку пряму точку A а вектор q ( ) візьмемо як напрямний вектор візьмемо

3 Розрахунково-графічна робота Параметричні рівняння: t t + t Канонічне рівняння: t R x y + z + Рівняння прямої визначається як лінії перетину двох непаралельних площин Пряма l лежить на перетині площини π і π містить точки A D B Рівняння π отримаємо з умови x (AM AD) або π : x + y + z + 4 отже координати точок прямої задовольняють системі рівнянь y + z 8 x + y + z + 4 y + π π z + l ( C) ( D) Можна зробити перевіркуБезпосередня підстановка координат точки ( ) дві тотожності і означає точка A належить прямий l Напрямний вектор прямий площин π і π відповідно Оскільки ( 8 4) 4( + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 4 8 A у рівняння системи дає l можна знайти як векторний добуток векторів нормалі n і n i j k q [n n ] 8i 4 j + k q ) то вектори q і q колінеарні і обидва можуть служити напрямними векторами нашої прямої Знайдемо площу ΔC Оскільки то Спочатку складемо рівняння висоти [ AC] ( 4) [ AC ] 8 S Δ C ΔC опущеної на бік та знайдемо її довжину 4 Нехай CE шукана висота та E ( x y z) Точка E належить прямій l тому існує таке t t що (параметричні рівняння)

4 Розрахунково-графічна робота t t + t З іншого боку тк CE маємо ( CE ) або Отже ( t ) + ( )( t ) + ( + t ) ( ) + ( )( y ) + ( z ) x звідки t і 8 x y z 8 8 Таким чином E CE і h CE -ой спосіб Оскільки відомо що S Δ C h а S ΔC то h S ΔC 4 4 що збігається з раніше отриманим результатом Рівняння висоти складемо вибравши як напрямний вектор q CE ( 89 ) початкової точки точку t R C( Розглянемо медіану CM в ΔC (рис) Очевидно що CM CA + AM де CA ( ) AM ( ) тому ( 7 ) ) Параметричне рівняння висоти має наступний вид CM B і як 8t + 9t + t + M C A Рис Параметричне рівняння медіани (напрямний вектор q СM ( 7) початкова точка ( ) 4 C )

5 t + 7t + t + Розрахунково-графічна робота t R 7 Довжина медіани m CM + + Розглянемо бісектрису CK кута AC B знайдемо її довжину і складемо рівняння бісектриси -ий спосіб Скористаємося параметричним рівнянням прямої якому задовольняють координати t + точки K ( x при деякому значенні t параметра t t Оскільки CK бісектриса то кути α β і cos α cos β Тому Скорочуючи тут на CK отримаємоα cos β CA CK CB CK l (CA CK) (CB CK) або враховуючи що CA CB CK (t t + t) ) 4( + t ) + 4( + t ) звідки t + 9 K B A α β Рис C Таким чином CK ( 4; ; 4) і довжина бісектриси Рівняння бісектриси (напрямний вектор t R ( 4) + ( ) + ( 4) b CK q CK початкова точка C ( ) ) має вигляд t 4 t t 4 -ий спосіб З елементарної геометрії відомо що точка K (основа бісектриси) ділить основу щодо λ де μ в λ μ AK KB AC CB Розрахунки проводимо з точністю до другого знака після коми

6 4 Розрахунково-графічна робота При цьому координати точки ( x y z ) K обчислюються через координати кінців відрізка за відомими формулами поділу відрізка в заданому відношенні (формули ) Підставляючи в ці формули відповідні значення координат отримаємо звідки ( 4; 9 x z ( ) + 9( ) + 9 4; y + 9 ; CK ) Довжина бісектриси b CK ( 4) + ( ) + ( 9) з попередніми обчисленнями що збігається Розглянемо тепер піраміду DC : Складемо рівняння висоти опущеної з вершини D на основу і знайдемо її довжину D 4 у нормоване рівняння -ий спосіб Висоту піраміди знайдемо підставивши координати точки ( ) площині π H d ( ) ой спосіб Знайдемо спочатку координати точки ( x y z ) π Очевидно числа Q проекції вершини D на площину основи x y z задовольняють загальному рівнянню площини π x + y z + 8 але одного цього рівняння недостатньо для визначення трьох невідомих чисел У той же час легко помітити що вектор ( x y + z 4 DQ ) колінеарен вектору нормалі ( ) N площині ? + μ 4 μ z ( ) + ( + μ) ( 4 μ) + 8 μ звідки μ і в результаті DQ μ N ( ) Висота піраміди H + + що підтверджує попередні обчислення Знайдемотепер об'єм піраміди DC-ий спосіб V пір HSΔC 4-ий спосіб Обчислимо тепер обсяг піраміди через змішаний добуток векторів (AC) V пір AD 4 Кут між гранями піраміди C і ADB це кут між площинами π і π: AC AD DQ μ N

7 ( n n ) + 9 cosψ 8 ψ 8 n n Розрахунково-графічна робота 4 Кут між ребром піраміди DA і її основою знайдемо використовуючи скалярний добуток векторів DA ( ) і n ( ) : ( ) + + ( )( ) ( ) 4 cosθ 8 θ 8 і DA n 4 ϕ 9 8 l C D напрямний вектор CD ( ) 4 Складемо рівняння прямої (проходить через точки і CD початкова точка C ( ) ): через точки і напрямний вектор q x y z Нагадаємо канонічне рівняння прямої l (проходить A B ( ) q ): 4 Кут ϕ між кутом між прямими l і l ( )( ) + ( )( ) CD x y + z + ( q q ) + 7 cosϕ звідки ϕ q q 4 Відстань між схрещуються прямими -ий спосіб Обчислимо об'єм паралелепіпеда побудованого на векторах q q CD і AC Оскільки ( CD AC) 4 то обсяг паралелепіпеда V o ( CD AC) 4 Площа основи паралелепіпеда S осн [ CD] i j k Обчислимо векторний твір [ CD] i j k і отже S осн [ CD] В результаті відстань між схрещуються прямими дорівнює V 4 8 d H 8 S осн

8 Розрахунково-графічна робота -ий спосіб Через пряму l проведемо площину π яка буде паралельна прямій l Ця площина містить точку A ( ) і має напрямні вектори q ( ) q CD ( ) Запишемо загальне рівняння цієї площини: x y + z 4( x ) 8( y + ) + 8( z ) 4x 8y + 8z Після множення на нормуючий множник μ отримаємо нормоване рівняння π ( y + z ) x Відстань між прямими схрещуються знайдемо як відстань від точки C ( ) прямої l до площини π : що підтверджує отриманий вище результат 8 d +