Опряжений оператор та його властивості, Розв’язання задач з математики

Лін. операторA, що діє в унітарному U (евклідовому E) пр-ві наз-ся самосполученим, якщо

Нехай - лінійний оператор та .

1)Нехай - довільний ОНБ в унітарному просторі. Лінійний операторАє самосполученим тоді і лише тоді, колиAe-Ермітова матриця.

Аналогічно доказу Властивості 5 нормальних операторів. #

2)Всі власні значення самосполученого оператора, що діє в унітарному просторі - речові.

Нехай і. Тоді, . Отримуємо або т. е. #

Слідство:Усі власні значення ермітової матриці, речові (т. до. самосполученого оператора в ОНБ відповідає ермітова матриця).

3)Власні вектори самосполученого оператора, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Слід зВластивості 4нормальних операторів, тому що самосполучений оператор є окремим випадком нормального оператора. #

4)Якщо підпростір інваріантний щодо самосполученого оператораА, то його ортогональне доповнення також інваріантне щодо оператораА.

Слід зВластивості 6сполучених операторів і з того, що . #

---