Оптимізація резонансних властивостей фотонних кристалів
Optimization of the resonance properties of photonic crystals
УДК 535.63, 537.874
Вихідні відомості:Ветлузький А.Ю. Оптимізація резонансних властивостей фотонних кристалів // ІТпортал, 2016. №4 (12). URL: http://itportal.ru/science/tech/optimizatsiya-rezonansnykh-svoystv-/
Автори:Ветлузький А.Ю., к.ф.-м.н., с.н.с. Інституту фізичного матеріалознавства СВ РАН, Удан-Уде, Україна (670047, Україна, м. Улан-Уде, вул. Сах'янової, 6), e-mail: [email protected]
Автори:Ветлюжскій А.Ю., П.Д., Сеніор Institute of Physical Materials Science SB RAS, Ulan-Ude, Російська Федерація (670047, Росія, Ulan-Ude, Sahjanovoj st .,6), e-mail: [email protected]
Ключові слова:фотонний кристал, резонатор, локалізація випромінювання
Keyword:photonic crystal, resonant element, localization of radiation
Аннотація:У роботі методами суворого чисельного моделювання вивчаються електродинамічні властивості двовимірних фотонних кристалів, утворених металевими циліндрами кругового перерізу. Розглядаються резонансні властивості таких структур, що полягають у локалізації випромінювання в центральній області кристала кінцевої протяжності при певному співвідношенні між довжиною хвилі випромінювання та періодом розташування елементів. Запропоновано алгоритм, який істотно знижує час розрахунку інтенсивності поля всередині фотонного кристала в резонансному режимі. У його основі лежить взаємозв'язок рівнів локалізованого випромінювання в малоелементних фотонних кристалах з рівнем поля у структурах будь-якої протяжності на момент резонансу. Отримано прості апроксимуючі вирази, що встановлюють цей взаємозв'язок. Описано методику, що дозволяє визначити оптимальні геометричні параметри.резонатора, що працює на заданій частоті.
Анотація:У даній роботі строгими методами чисельного моделювання досліджено електродинамічні властивості двовимірних фотонних кристалів, утворених металевими циліндрами круглого перерізу. Розглянуто резонансні властивості таких структур, а саме локалізацію світла в центральній області кристала скінченної довжини при певному співвідношенні між довжиною хвилі та періодом розташування елементів. Запропоновано алгоритм, який значно скорочує час обчислення напруженості поля всередині фотонного кристала в резонансному режимі. Він заснований на зв'язку рівнів локалізованого випромінювання в малих фотонних кристалах з рівнем поля в структурах будь-якої довжини в точці резонансу. Знайдено простий наближений вираз, який встановлює цю залежність. Описано методику, що дозволяє визначити оптимальні геометричні параметри резонатора, що працює на заданій частоті.
Одним із цікавих і перспективних напрямків сучасної радіофізики є розробка та вивчення властивостей фотонних кристалів (ФК) і метаматеріалів. Ці терміни в даний час позначають різні об'єкти, що володіють тим не менш, у багатьох сходних рисах. У першу чергу, це періодичний характер їх внутрішніх структур, що представляє собою покриття діелектричних або металевих елементів з різною геометричністю та різними електрофізичними характеристиками та обуславливающей особливості взаємодії з ними електромагнітних вилучень.
Говоря про ці особливості, для ФК в першу чергу слід відзначити наявність зонної структури спектру власних електромагнітних складів таких об’єктів, що виражаються у формуванні.діапазонів частот, у яких випромінювання або вільно проходить через кристал (дозволені зони), або інтенсивно пригнічується (заборонені зони) [1, 2]. Крім того, великий інтерес викликає наявність у ФК яскраво вираженої дисперсії, причому як частотної, так і просторової, що відкриває широкі можливості для вельми різноманітних практичних додатків [3-7].
Так, у роботах [8-10] було показано, що при певних співвідношеннях між довжиною хвилі випромінювання та щільністю компонування елементів у двовимірному металевому ФК можлива локалізація випромінювання у центральній області структури, яку можна трактувати як прояв кристалом резонансних властивостей. На рис. 1 показаний типовий частотний спектр випромінювання, що взаємодіяло з описаним вище кристалом, елементи в якому утворюють квадратну решітку 11 на 11 елементів для випадку, коли точка спостереження знаходиться в центральній області ФК. Розрахунок виконаний методом самопов'язаних рівнянь [11, 12].
Мал. 1. Частотна залежність інтенсивності поля у центральній області ЕК
З малюнка видно, що в межах дозволеної зони, розташованої в діапазоні значеньkd(k–хвильове число,d–період ФК) від 1,5 до 2,15, є кілька яскраво виражених максимумів, що свідчать про локалізації поля у ФК, завдяки чому стає можливим створення резонаторних структур на основі ФК. Найбільшу амплітуду має перший максимум, що виникає на частоті переходу від забороненої до дозволеної зони, причому, як показали додаткові дослідження, це є типовим для будь-яких двовимірних регулярних ФК. Оскільки на цій частоті спостерігається максимальна локалізація поля, саме за таких параметрів ФК виявляє яскраво виражені резонансні властивості.
Як зазначалося, електромагнітне поле всередині такого резонатора виявляється локалізованим по всій площі з максимумом у його центральній області. Його характеристики можуть бути визначені різними чисельними методами, загальними для яких є значні витрати машинного часу, що швидко зростають зі збільшенням протяжності структур. Метою цієї роботи було встановлення взаємозв'язку між інтенсивністю локалізованого випромінювання у ФК різних розмірів, що дозволило б уникнути трудомістких розрахунків під час аналізу резонансних властивостей багатоелементних структур.
У табл. 1 наведено значення інтенсивності поля для структур, що складаються з різної кількості елементів, при різних відносинахd/a, деa– радіус циліндрів. Тут же представлені зв'язувальні коефіцієнти βn, що показують, у скільки разів збільшиться інтенсивність поля в резонаторі зі збільшенням кількості елементів, що його складають.
Як видно з таблиці, коефіцієнти зв'язку β9 - β15, отримані для структур при різних значенняхd/a, приблизно рівні один одному. Це дозволяє розраховувати рівень інтенсивності поля для резонаторів з різною геометрією.
Проілюструємо вищесказане, визначивши інтенсивність поля у ФК, що складається з 121 елементаd/a= 13. Для цього необхідно знати інтенсивність поля в найпростішій структурі, утвореної 81 елементом. Суворе чисельне моделювання показало, що ця величина дорівнює 36,1. Використовуючи відповідний коефіцієнт таблиці 1, отримуємо значення інтенсивності в 55,1. Перевірка цієї оцінки за допомогою методу самопов'язаних рівнянь призвела до результатів, представлених на рис. 2, що добре узгоджуються з вищевизначеною величиною. Отже, використання коефіцієнтів зв'язку дозволяєвизначати ступінь локалізації випромінювання у протяжних ФК, спираючись лише на розрахунки, виконані для малоелементних структур.
Мал. 2. Відносна інтенсивність поля для структури, що складається з 121 циліндра, перший максимум
Більше того, оскільки отриманий ряд коефіцієнтів добре вкладається в апроксимуючу залежність
, (1)
з'являється можливість, оперуючи лише значенням інтенсивності резонансної структурі, визначити кількість елементів у ФК, що дозволяє досягти необхідного рівня локалізації випромінювання.
Крім того, в ході чисельного моделювання було встановлено, що безрозмірна величина, що дорівнює добутку хвильового числа, що відповідає резонансній частоті, на період ФК -kрезdзалишається постійною для будь-якої частоти, якщо при цьому не змінюється відношенняd/a(табл. 2).
Виробництво хвильового числа в момент резонансу на період ЕК
Апроксимацією значень з даної таблиці було отримано таку залежність:
(2)
Знаючиkрезdдля різних відносинd/a, можна легко розрахувати найбільш ефективні значення радіусу циліндрів та відстані між ними для створення резонаторів, що працюють на заданій частоті.
Наприклад, визначимо оптимальну геометрію резонатора, що працює на частоті 10 ГГц (k= 209,44 м-1). Для цього необхідно за допомогою формули 2 визначити значенняkрезdдля заданого відношенняd/a, маючи на увазі, що при зменшенні цієї величини збільшується інтенсивність поля в структурі . Припустимо, щоd/a= 10, цьому співвідношенню відповідає значенняkрезd= 2,395. Тоді, період ФК дорівнюватимеd= 11,435 мм, а радіус циліндрів у 10 разів меншеa= 1,1435 мм.
заданим таблиці 1 (отриманим іншого значення резонансної частоти) відносна інтенсивність поля, наприклад, для структури з 81 елемента повинна становити 60,59. Перевіримо цей результат, застосовуючи суворий метод розрахунку до структури з наведеними вище параметрами (рис. 3).
Мал. 3. Інтенсивність поля у структурі, що складається з 9 на 9 металевих циліндрів, на частоті 10 ГГц
Видно, що зміна частоти практично не призвели до зміни рівня випромінювання в момент резонансу. Далі отриману інтенсивність поля можна довести до бажаного значення, підібравши оптимальну форму структури.
Таким чином, у роботі визначені ряди коефіцієнтів, що описують взаємозв'язок інтенсивності поля в резонаторах на основі ФК з різною кількістю елементів та різною щільністю їх компонування. Це дозволяє відновлювати значення інтенсивності локалізованого випромінювання в багатоелементному ФК, знаючи лише опорну величину інтенсивності для найпростішої структури та оптимізувати геометрію ФК для прояву їм максимально виражених резонансних властивостей. Використання представлених у роботі коефіцієнтів дає можливість істотного зниження витрат машинного часу виконання моделювання. На закінчення відзначимо, що знайдений ряд коефіцієнтів (таб. 1) зі збільшенням протяжності структур прагне одиниці, що говорить про існування граничних розмірів резонаторів, при перевищенні яких рівень інтенсивності локалізованого у ФК випромінювання залишатиметься практично незмінним.