Основні поняття диференціальних рівнянь
Сьогодні розглянемо основні поняття дифурів: визначення, загальний, основні складові та методи їх вирішення.
Диференціальним рівнянням (ДК) називається рівняння, яке містить похідні невідомої функції (або кількох невідомих функцій). Замість похідних можуть бути диференціали.
Загальний вид дифуру з однією невідомою функцією такий:Φ(х,у,у’,у»,…,у (n)) = 0.
А його порядком називається порядок найвищої з похідних, що входять до цього рівняння. Тобто у вище зазначеному вигляді ми маємо ДУ n-го порядку.
приклади. Рівнянняу' = y2/x є ДК першого порядку; а вжеу» + у = 0 — другого порядку, ну аy' 2 = х 3 — також першого.
Функціяу = φ(х) називається рішенням ДК, якщо останнє перетворюється на тотожність після підстановкиу = φ(х).
Основне завдання теорії дифурів є перебування всіх рішень даного ДК, які завжди багато, оскільки вони можуть відрізнятися мінімум якусь константу. У найпростіших випадках це завдання зводиться до знаходження інтеграла. Тому його рішення ще можуть називати його інтегралом, а процес знаходження всіх цих рішень інтегруванням диференціального рівняння. Взагалі інтегралом даного ДУ називають будь-яке рівняння, що не містить похідних, з якого це диф. ур. витікає як наслідок.
Як бачимо математика – це не школа англійської мови, тут потрібне розуміння матеріалу.Саме цим і володіли великі математики Ньютон і Лейбніц, які ще в XVII столітті поставили завдання для знаходження швидкості зміни функції щодо зміни аргументу.
Вони і ввели основні поняття, позначення та показали, як застосовувати це для вирішення багатьох завдань механіки та геометрії. Так як завдання про знаходження дотичної до довільної лінії і обчислення швидкості при довільному законі руху були першоджерелом даного обчислення.