Основні поняття систем числення
Під системою числення розуміється спосіб подання будь-якого числа за допомогою деякого алфавіту символів, які називаються цифрами.
Усі системи числення діляться на позиційні та непозиційні.
Непозиційними системами є такі системи числення, у яких кожен символ зберігає значення незалежно від місця його становища в числе.
Прикладом непозиційної системи числення є римська система. До недоліків таких систем відносяться наявність великої кількості знаків та складність виконання арифметичних операцій.
Система числення називається позиційною, якщо та сама цифра має різне значення, що визначається позицією цифри в послідовності цифр, що зображує число. Це значення змінюється в однозначній залежності від позиції, яку займає цифра, за деяким законом.
Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується у повсякденному житті.
Кількість p різних цифр, які у позиційної системі визначає назву системи числення і називається основою системи числення - "p".
У десятковій системі використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ця система має основою число десять.
Будь-яке число N у позиційній системі числення з основою p може бути представлене у вигляді полінома від основи p:
N = anpn+an-1pn-1+. +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+.
тут N – число, aj – коефіцієнти (цифри числа), p – основа системи числення (p>1).
Прийнято подавати числа у вигляді послідовності цифр:
N = anan-1. a1a0. a-1a-2.
У цій послідовності точка відокремлює цілу частину числа від дробової (коефіцієнти при позитивнихстепенях, включаючи нуль, від коефіцієнтів при негативних ступенях). Крапка опускається, якщо немає негативних ступенів (число ціле).
У ЕОМ застосовують позиційні системи числення з десятковим підставою: двійкову, вісімкову, шістнадцяткову.
В апаратній основі ЕОМ лежать двопозиційні елементи, які можуть бути лише у двох станах; одне з них позначається 0, а інше - 1. Тому основною системою числення застосовуваної ЕОМ є двійкова система.
У двійковій системі числення використовуються лише два символи, що добре узгоджується з технічними характеристиками цифрових схем. Дійсно, дуже зручно представляти окремі складові інформації за допомогою двох станів:
- Отвір є або відсутній (перфострічка чи перфокарта);
- Матеріал намагнічний чи розмагнічний (магнітні стрічки, диски);
- Рівень сигналу великий чи короткий.
Існують спеціальні терміни, які широко використовуються в обчислювальній техніці: біт, байт і слово.
Бітом називають один двійковий розряд. Крайній ліворуч біт числа називають старшим розрядом (він має найбільшу вагу), крайній праворуч - молодшим розрядом (він має найменшу вагу).
Восьмибітова одиниця має назву байта.
Багато типів ЕОМ та дискретних систем управління переробляють інформацію порціями (словами) по 8, 16 або 32 біти (1, 2 і 4 байти
Двійкове додавання виконується за тими самими правилами, як і десяткове, з тією лише різницею, що перенесення до наступного розряду проводиться після того, як сума досягне не десяти, а двох.
приклад. Додавання двійкових чисел та
- Порозрядна сума без урахування переносів
- Порозрядна сума без урахування повторних переносів
Легко провести перевірку:
приклад.Додавання двійкових чисел та
- Порозрядна сума без урахування переносів
- Порозрядна сума без урахування повторних переносів
Додавання кількох чисел викликає деякі труднощі, тому що в результаті порозрядного додавання можуть вийде переноси, що перевищують одиницю.
Віднімання в двійковій системі виконується аналогічно віднімання в десятковій системі числення. При необхідності, коли у певному розряді доводиться віднімати одиницю з нуля, займається одиниця з наступного старшого розряду. Якщо наступному розряді нуль, то позика робиться у найближчому старшому розряді, у якому стоїть одиниця. При цьому слід розуміти, що одиниця, що займає, дорівнює двом одиницям даного розряду, тобто віднімання виконується за наступним правилом:
приклад. Віднімання двійкових чисел та
Звичайно, математично віднімання виконати нескладно. Однак, якщо чинити таким чином, то наприклад в ЕОМ доведеться для виконання додавання та віднімання мати два блоки: суматор і вичитувач. Тому надходять у такий спосіб: віднімання можна як складення позитивного і негативного чисел, необхідне лише підходяще уявлення для негативного числа.
Розглянемо чотирирозрядний десятковий лічильник, які в автомобілі відраховують пройдений шлях. Нехай він показує число 2, якщо обертати його у зворотному напрямку, то спочатку з'явиться 1, потім 0, після 0 з'явиться число 9999. Складемо, наприклад, 6 із цим числом:
Якщо знехтувати одиницею перенесення і вважати 9999 аналогом -1, отримаємо правильний результат: .
Число 9999 називається десятковим доповненням числа 1. Таким чином, у десятковій системі числення негативні числа можуть бути представлені у формі десяткового доповнення, а знак мінус можна опустити.
Двійковийдоповнення числа визначається як те число, яке додане до початкового числа, дасть тільки одиницю перенесення у старшому розряді.
приклад. Двійкове доповнення числа
Для отримання двійкового доповнення необхідно:
- отримати зворотний код, який утворюється інвертуванням кожного біта:
- додати до зворотного коду одиницю, утворивши таким чином додатковий код:
приклад. Віднімання у додатковому коді
Множення двох двійкових чисел виконується так само, як і множення десяткових. Спочатку виходять часткові твори і потім їх підсумовують з урахуванням ваги розряду відповідного множника.
Відмінною особливістю множення у двійковій системі числення є його простота, зумовлена простотою таблиці множення. Відповідно до неї, кожен частковий добуток або дорівнює нулю, якщо у відповідному розряді множника стоїть нуль, або дорівнює множині, зсунутому на відповідне число розрядів, якщо у відповідному розряді множника стоїть одиниця. Таким чином, операція множення в двійковій системі зводиться до операцій зсуву та додавання.
Множення проводиться, починаючи з молодшого або старшого розряду множника, що визначає напрямок зсуву. Якщо співмножники мають дробові частини, то положення коми у творі визначається за тими самими правилами, що й у десяткових чисел.
приклад. Множення двійкових чисел та
Розподіл чисел у двійковій системі проводиться аналогічно поділу десяткових чисел. Розглянемо поділ двох цілих чисел, тому що ділене і дільник завжди можуть бути приведені до такого виду шляхом перенесення коми в ділимому і дільнику на однакове число розрядів і дописування необхідних нулів. Поділ починається з того, що від діленого злівавідокремлюється мінімальна група розрядів, яка, що розглядається як число, перевищує або дорівнює дільнику. Подальші дії виконуються за звичайними правилами, причому остання ціла цифра частки виходить тоді, коли всі цифри поділеного вичерпані.