Отримана формула називається...
Формули Біне дають деякі зручності під час розгляду центральних рухів. Для отримання цих формул розглянемо швидкість руху матеріальної точки у полярних координатах
Визначивши з інтегралу площ
представимо вираз для швидкості у виді
Якщо ж зробити заміну
той вираз для швидкості набуде вигляду
Отримана формула називається першою формулою Біне визначення швидкості матеріальної точки. Формула дозволяє визначати швидкість матеріальної точки, що рухається в центральному силовому полі, якщо відома траєкторія точки та її секторна швидкість.
Повернемося до теореми живих сил, яку запишемо у вигляді
Розділивши обидві частини цієї рівності на і підставляючи сюди вираз швидкості, отриманий з першої формули Біне, знайдемо
Підставляючи в ліву частину
і скорочуючи на отримаємо
Ця формула має назву другої формули Біне для визначення центральної сили, що діє на матеріальну точку, якщо відомі траєкторія точки та її секторна швидкість.
Формули Біне дозволяють вирішувати і зворотне завдання - знаходження тректорії точки за заданою центральною силою, що діє на цю точку. У цьому разі завдання зводиться до інтегрування диференціального рівняння другого порядку.
Приклад 69. Матеріальна точка масою описує коло радіусу Якою має бути центральна сила, якщо її центр знаходиться на колі (рис. 153)?
Рішення За полярну вісь приймемо діаметр кола, що проходить через центр сили. Тоді рівняння траєкторії запишеться як
Обчислимо похідні від
Підставляючи ці значенняформулу Біне для сили, матимемо
звідки видно, що на точку діє центральна сила тяжіння, обернено пропорційна п'ятому ступеню відстані точки від центру, що притягує, Величина сили залежить від закону руху точки по траєкторії. Якщо
припустити, що в найбільш віддаленій точці траєкторії швидкість дорівнює то постійна площ і для сили отримаємо значення
Приклад 70. Крапка описує еліпс
під впливом сили тяжіння до його центру. Визначте цю силу.
Рішення. Введемо полярні координати
Тоді, замінивши х і у рівнянні еліпса, отримаємо
Обчислимо похідні від
Підставляючи ці значення у формулу Біне для сили, матимемо
або після приведення подібних членів
Сила буде повністю визначена, якщо буде відомий закон руху точки, для чого достатньо визначити постійну площу.