Парадокси складних відсотків

У статті розглядаються деякі несподівані якісні ефекти, пов'язані з нарахуванням відсотків на відсотки.

Про логіку та математику

Існують різні погляди на співвідношення логіки та математики. Деякі серйозні мислителі розглядають математику як частину логіки. Існує і прямо протилежна точка зору, за якою логіка є частиною математики. Логіка – це система принципів, що дозволяють робити правильні висновки на основі правильних посилок. Ці принципи були сформульовані ще Аристотелем і відтоді не зазнали істотних змін. Здивування може викликати той факт, що ці прості правила за такий тривалий час не спричинили жодної помилки.

Про експоненційне зростання

Після такого вступу можна розглянути логічні і математичні парадокси, пов'язані з експоненційним зростанням при нарахуванні відсотків на відсотки.

Візьмемо звичайний газетний лист. Складемо його вдвічі, потім ще вдвічі і таке інше. Спробуйте швидко оцінити, яку товщину матиме газета, якщо ми зробимо цю операцію 50 разів? А тепер давайте порахуємо. Після однієї операції ми матимемо два шари паперу, після двох – 4, після трьох – 8…, після п'ятдесяти – 250. Якщо товщина газетного аркуша дорівнює 0.1 міліметра, то товщина пачки дорівнюватиме:

250/10=(210)5/10=10245/10>10005/10= =(105)3/10=1015/10=1014 міліметрів, або сто мільйонів кілометрів. Для порівняння: відстань від Землі до Сонця дорівнює приблизно 150 мільйонів кілометрів.

Деякі характерні величини зібрані в таблиці 1. У її першому стовпці наведена денна дохідність, у другому та ж доходність переведена в річну, а в третьому вона ж перерахована на строк у 50 років. ЗТаблиці, зокрема, видно, що для терміну в 50 років навіть прибутковість 0.1% на день є позамежною!

Розглянуті вище приклади свідчать про одне: моделі експоненційного зростання мають дуже обмежену область застосування. Наприклад, газету ще нікому не вдавалося скласти вдвічі десять разів. Фізики добре знають, що експонент – це модель вибуху. Ще один класичний приклад того, як у моделях експоненційного зростання не враховуються межі їх застосування, дає теорія Мальтуса.

Гарантовані виграші

Відомий такий спосіб отримати гарантований виграш при грі в орлянку. Поставимо на кін 1 рубль. Якщо в першій грі ми виграємо, то гру відразу ж припинимо. В іншому випадку подвоїмо ставку і зіграємо ще раз. У разі виграшу припинимо гру, інакше знову подвоїмо ставку - і так далі. Імовірність програти у першій грі дорівнює 0.5. Імовірність програти двічі поспіль дорівнює 1/4, три рази поспіль – 1/8, ймовірність програти n разів поспіль дорівнює 2-n. Бачимо, що ця ймовірність експоненційно швидко зменшується, тому з ймовірністю одиниця гра закінчиться на якомусь кроці. Підрахуємо прибутки та збитки у разі, якщо це сталося у грі з номером n.

У першій грі ми програли рубль, у другій – два, у (n-1)-ній 2n-2 рублів, а в останній – виграли 2n-1 рублів. Підсумок усієї операції – один карбованець виграшу*. Результат явно парадоксальний. Корінь феномена полягає в експоненційному зростанні розміру ставок. Розібраний вище приклад із газетою свідчить про те, що вже на п'ятдесяту ставку жодних грошей не вистачить. У реального гравця проблеми розпочнуться набагато раніше.

Описаний ефект має суто якісний характер і належить не тільки до гри орел-решка.

Припустимо, ми працюємо нафінансовому ринку та маємо якийсь інструмент, що видає сигнали на вхід у ринок. Встановимо стоп-ордера так, щоб у разі удачі отримувати f рублів на вкладений карбованець, а у разі невдачі фіксувати збиток у g рублів на вкладений карбованець. Можна припустити, що результат такої операції – випадкова подія, і з ймовірністю p отримаємо прибуток, і з ймовірністю q=1-p зафіксуємо збиток.

Допустимо, ми хочемо заробити суму M (мільйон). Відкриємо першу позицію у розмірі M/f. Якщо операція закінчиться із прибутком, то завдання вирішено. А якщо ні, то продовжимо гру, вклавши суму M(1+g)/f і так далі. Імовірність програти n разів поспіль, очевидно, дорівнює qn і швидко прагне нулю зі зростанням n. Тому з ймовірністю одиниця ми рано чи пізно виграємо та заробимо свій мільйон.

Все сказане має суто якісний характер: результат не залежить ні від наших амбіцій, ні від розмірів прибутку та збитку, ні навіть від ймовірності виграшу. Важливо лише, щоб ймовірність виграшу була ненульовою. Щоправда, і розмір коштів, що інвестуються, буде експоненційно зростати незалежно від усіх цих параметрів. Тому пояснення парадоксу має суто якісний характер.

Петербурзький парадокс

Таким чином, хоч би скільки заплатив Петро на початку гри, зрештою він, ймовірно, опиниться у виграші. А тим часом ніяка розсудлива людина на місці Петра не погодилася б поставити й сто карбованців проти зобов'язань Павла.

Цей феномен досить довго займав математиків. Була навіть розроблена альтернативна теорія ймовірностей теорія морального очікування. А скринька відкривалася просто. Пояснення було дано, наскільки я розумію, Емілем Борелем [1] у першій половині минулого століття.

Пояснення феномена знову пов'язані з експоненційним зростанням ставок.Давайте уявимо, що Павло продає свої зобов'язання частинами. Плата в один карбованець за право з ймовірністю 1/2 отримати два карбованці і з ймовірністю 1/2 не отримати нічого - цілком справедлива, і, ймовірно, Павло знайде покупця. Те саме стосується і зобов'язання виплатити 4 рублі з ймовірністю 1/4 і нічого не платити з ймовірністю 3/4. А ось продати за карбованець право отримати 250 рублів або не отримати нічого – Павлу навряд чи вдасться, бо кожна нормальна людина зрозуміє, що таких грошей у Павла немає.

Якщо зважити на цю обставину, можна сказати, що справедлива плата за участь у грі ніяк не більше 50 рублів. До речі, цей приклад можна перекласти на мову опціонів, тому він не такий далекий від реального життя. А висновки, як і в попередньому прикладі, мають якісний характер.

Розібрані приклади показують, що й у математичної моделі явно чи неявно з'являється експоненційне зростання, потрібно дуже уважно відстежувати межі застосування моделі.

Реінвестиції прибутку

Нехай є два способи вкладення грошей. При методі А ми щороку стабільно отримувати прибуток у f рублів на вкладений спочатку рубль. При методі Б ми отримуватимемо на рік прибуток у g рублів на вкладений карбованець, але з можливістю багаторазової реінвестиції отриманого прибутку. Який спосіб віддати перевагу?

Давайте порахуємо. Кожен вкладений рубль при способі через n років перетвориться на суму (1+g)n. Прибуток за n-ний рік у своїй складе:

(1+g)n-(1+g)n-1=g(1+g)n-1.

Видно, що одержуваний прибуток рік у рік зростає, причому швидкість зростання прибутку g(1+g)n-1-g(1+g)n-2=g2(1+g)n-2 не менше g2. Тому пізніше, ніж через T=2f/g2 років прибуток за способі Б буде вдвічі перевищувати прибуток, одержувану при способі А. Значить вжечерез 2T років сумарний прибуток від вкладень при способі Б перевищить сумарний прибуток від вкладень способом А **. Таким чином, якщо у нас в запасі досить багато часу, то спосіб Б напевно кращий. І це – незалежно від співвідношення ставок f та g! До речі, цей висновок залишиться вірним у тому разі, коли періодичності отримання прибутку за цих двох способах не збігаються. Понад те, не залежить і від частоти отримання прибутку, аби ця частота при способі Б була позитивною.

Напрошується висновок про те, що спосіб Б кращий. Але, з іншого боку, якщо ми вкладаємо гроші всього на рік, а f>g, то за способу А ми заробимо більше. Тому правильний висновок виглядає так. Якщо f>g, то все залежить від терміну інвестицій: якщо він менше деякого порогового значення - краще спосіб А, а в іншому випадку - спосіб Б.

Тут xt і yt – залишок на рахунку у році t у першому та другому випадках, а x0=y0 – початкова сума інвестицій. Перша формула задає добре знайому зі школи геометричну прогресію, тому можна сказати, що xt=x0+(x0 f-m)(t-1). З другої треба трошки повозитися. Якщо ми інвестуємо суму m/g, то отриманого прибутку наприкінці року вистачить на необхідні виплати. Якщо є можливість інвестувати більше, то умовно розділимо всю суму на дві частини: перша у розмірі m/g використовуватиметься для підтримки діяльності, а залишок буде реінвестувати разом із прибутком. Тому yt=m/g+(y0-m/g)(1+g)t-1. В останній формулі ми бачимо ту саму експоненту, тому можемо зробити висновок, що при досить великій початковій сумі і при досить великому терміні інвестицій спосіб Б краще, незалежно від ставок f і g. Але з'являється новий якісний ефект (рис. 1).

Мал. 1.Динаміка рахунку за різних початкових умов.

При деяких співвідношеннях між обсягом початкового капіталу, розміром необхідних витрат і дохідністю операцій може статися так, що спосіб А дає можливість як завгодно довго жити безбідно, а спосіб Б неминуче призводить до руйнування ***. Зауважимо, до речі, якщо є можливість комбінувати ці два методу, то за високих термінах інвестиції раціональним стає портфель, відповідний вкладенню суми m/f за методом А та інших грошей – за методом Б (нескладні викладки залишаємо читачеві).

Зазначимо ще одну кумедну обставину. Порівняємо знайдену вище функцію yt з геометричною прогресією zt=y0(1+h)t-1. Міркування, аналогічні наведеним вище, показують, що якщо h zt, а при h>g справедлива зворотна нерівність. Звідси випливає, що «ефективна дохідність» вкладень за способом Б дорівнює g незалежно від розміру витрат m, якщо початкова сума досить велика! З аналогічних міркувань, ефективна дохідність вкладень за способом А незалежно ні від чого дорівнює нулю! Висновки є дещо парадоксальними, і пов'язані вони з тим, що ми розглядаємо дуже великі терміни інвестицій.

Фактор часу

Досі ми використовували здебільшого один факт. А саме, нескладно зрозуміти, що графік будь-якої експоненти може бути отриманий із графіка будь-якої іншої експоненти просто зміною масштабу часу. У прикладі з газетою для того, щоб перейти від функції 2t до функції 10t, ми змінили масштаб часу в 10/3 рази. Тому, маючи на увазі лише дуже великі періоди часу, можна було говорити про будь-яку з цих експонентів, наприклад, про ту, яка описує складання газети вдвічі. Щоправда, поняття «дуже великі періоди часу» суттєво залежить від конкретної експоненти (і меншою – віднеобхідного нам ступеня точності).

Тепер обговоримо іншу обставину, яка, мабуть, багато в чому визначає неадекватне сприйняття всього, що пов'язане зі складними відсотками. Як і будь-яка гладка функція, експонента добре апроксимується прямою. Це означає, зокрема, що з дуже малих періодах часу прибуток, обчислена за формулою простого відсотка, мало відрізняється від прибутку, обчисленої за формулою складних відсотків. Поняття «дуже короткий період» знову-таки істотно залежить від конкретної експоненти.

Насправді часто доводиться зіштовхуватися з експоненційними залежностями, які мають підставу експоненти досить близько до одиниці. А в такому разі періоди часу, що представляють практичний інтерес, можуть виявитися «дуже маленькими». І тоді рішення, ухвалені на основі лінійного наближення, виявляться вірними.

Деяке уявлення про це дає таблиця 2. У ній для різних значень прибутковості наведено час, через який прибуток за формулою простого відсотка буде вдвічі меншим за прибуток, порахований за формулою складних відсотків. Багато хто ще пам'ятає ті часи, коли в ощадних касах нараховували 2% річних. З таблиці видно, що у разі 50 років – «маленький період».

Принагідно зауважимо ще одну обставину. На багатьох ринках розмір лота, що торгується, досить великий. Можна показати, що на прибутковість у віддаленій перспективі це не впливає. А ось поняття «маленький період часу» та «великий період часу» можуть суттєво змінитись у бік збільшення відповідних кордонів. Отже, звертаючись до якогось інвестиційного завдання, ми маємо насамперед вирішити, що нас цікавить: найближче майбутнє чи віддалена перспектива. Втім, може виявитися, що ні те ніінше припущення нас не влаштовує. Це, мабуть, найгірший варіант, оскільки, як показує досвід, останні випадки зазвичай досліджуються легше.

Як приклад торкнемося коротко питання управління розміром відкритої позиції за умов ризику. У [2] розглянуто варіант дуже великих періодів часу і з'ясовано, що найрозумніше входити в ринок, використовуючи лише частину наявних коштів. З іншого боку, неважко зрозуміти, що якщо плановий обрій дуже близький, то в такому разі достатню точність забезпечить лінійне наближення, і принцип «гроші повинні працювати» стане вірним, тобто правильно використовувати всі наявні кошти. Питання про те, коли можна користуватися тим і іншим наближенням, і що робити в «проміжному» випадку – заслуговує на окреме обговорення.

* Як це випливає зі знайомої зі школи формули суми членів геометричної прогресії.

** Тут нас цікавить лише якісний ефект, тому я обмежуюсь дуже грубими оцінками. За бажання у цій задачі такі оцінки легко можуть бути уточнені.

*** Можна було б врахувати і витрати, пропорційні обороту (комісійні, податки з прибутку тощо. п.). Однак до нових якісних ефектів це не призводить, оскільки легко зводиться до зменшення ставок f і g.

2002

Михайло Горєлов

Література: 1. Борель Е. Імовірність та достовірність. - М.: ДІФМЛ, 1961. 2. Вінс Р. Математика управління капіталом. - М.: Альпіна Паблішер, 2001.