Переміщення в балках при згинанні

Види переміщень при згинанні

Пружна лінія балки – вісь балки після деформації.

Прогин балки $y$ – поступальне переміщення центру ваги у поперечному напрямку балки. Прогин вгору вважаємо позитивним, вниз – ємним.

Рівняння пружної лінії – математичний запис залежності $y(x)$ (прогин по довжині балки).

Стріла прогину $f = >$ – максимальне за довжиною значення прогину балки.

Кут повороту перерізу $ \ varphi $ - Кут, на який повертається перетин в процесі деформування балки. Кут повороту вважаємо позитивним, якщо перетин повертається проти годинникової стрілки і навпаки.

Кут повороту перерізу дорівнює куту нахилу пружної лінії. Таким чином, функція зміни кута повороту по довжині балки дорівнює першій похідній від функції прогинів $varphi(x) = y'(x)$.

переміщення

Таким чином, при згинанні розглядаємо два види переміщень - прогин і кут повороту перерізу.

Мета визначення переміщень

Переміщення у стрижневих системах (зокрема у балках) визначаються задля забезпечення умов жорсткості (прогини обмежуються будівельними нормами).

Крім цього, визначення переміщень необхідне розрахунку міцності статично невидатних систем.

Диференціальне рівняння пружної лінії (вигнутої осі) балки

На даному етапі необхідно встановити залежність переміщень у балці від зовнішніх навантажень, способу закріплення, розмірів балки та матеріалу. Для повного вирішення завдання необхідно отримати функцію прогинів $ y (x) $ по всій довжині балки. Цілком очевидно, що переміщення у балці залежать від деформацій кожного перерізу. Раніше нами була отримана залежність кривизни перерізу балки від згинального моменту, що діє в цьому перерізі.

Кривизна лінії визначаєтьсяїї рівнянням $y(x)$ так

де $y'$ і $y$ – відповідно, перша та друга похідна від функції прогинів з координатоюx.

З практичної точки зору цей запис можна спростити. Насправді $y' = \varphi $ - кут повороту перерізу в реальних конструкціях не може бути більшим, як правило, не більше 1град = 0,017рад. Тоді $1 + \right)^2> = 1 + = 1.000289 \approx 1$, тобто можна вважати, що $\frac = y" = \fracy>>>>$. Таким чином, ми отримали рівняння пружної лінії балки (диференціальне рівняння вигнутої осі балки) .Це рівняння вперше отримано Ейлером.

$ y (x) $ - функція прогинів;

$y'(x) = \varphi(x)$ - функція кутів повороту;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - функція зміни згинального моменту;

$EI \cdot y"'(x) = M'(x) = Q(x)$ - функція зміни поперечної сили;

$EI \cdot >(x) = M"(x) = q(x)$ – функція зміни поперечного навантаження.