Перетворення Фур’є
В основі перетворення Фур'є (ПФ) лежить надзвичайно проста, але виключно плідна ідея – майже будь-яку періодичну функцію можна уявити сумою окремих гармонійних складових (синусоїд та косінусоїд з різними амплітудами A, періодами Т і, отже, частотами ω). Приклад однієї з таких функцій S(t), що складається з гармонік Сi(t), наведено на рис.1.
Мал. 1. Подання прямокутного імпульсу сумою гармонійних складових
Поняття «зобразити у частотній області певну функцію від часу» і «намалювати спектр цієї функції» – рівнозначні. Якщо ковзнути по рис.1 поглядом по горизонталі ліворуч, то відбудеться перехід від будь-якої функції часу до її спектру – завдяки «магічному склу» ПФ. А нижня частина малюнка є ілюстрацією одного з основних принципів ПФ – спектр сумарної функції часу дорівнює сумі спектрів її гармонійних складових.
Безперечною перевагою ПФ є його гнучкість - перетворення може використовуватися як для безперервних функцій часу, так і для дискретних. У разі воно називається дискретним ПФ – ДПФ.
Для отримання дискретної функції часу треба піддати процесу дискретизації безперервну функцію часу. Це зображено на рис.2. Вирізаємо окремі значення безперервної функції, вибудовуючи дискретну функцію часу. Період одного циклу його роботи Tд називається "періодом дискретизації", або "інтервалом дискретності".
Мал. 2. Дискретне уявлення безперервної функції
ПФ часто застосовується при вирішенні завдань, що виникають в теорії автоматичного регулювання та управління, теорії фільтрації і т.д. Розберемо один із прикладів. Є якийсь лінійний фільтр - виготовлений чи у вигляді набору спаяних між собоюрезисторів, конденсаторів і котушок індуктивності, чи у вигляді модульної конструкції інтегральних мікросхем. Відомий також вхідний сигнал (на рис.3 як вхідний сигнал зображена дельта-функція, тобто імпульс зникаюче короткої тривалості і нескінченно великої амплітуди). Необхідно визначити, який сигнал з'явиться на виході фільтра.
Мал. 3. Дослідження лінійного фільтра
Хід вирішення цього завдання залежить від того, яку позицію ми віддамо перевагу. Виберемо тимчасовий шлях розв'язання (верхня половина рис.4) – доведеться вхідний сигнал записати як функцію часу SBX(t) і використовувати імпульсну характеристику фільтра h(t), тобто математичну запис його роботи у часі. Вирушимо частотним шляхом (нижня половина рис.4) – потрібно буде оперувати вже не з самим вхідним сигналом, а з його спектром gbx (ω). Δа та алгоритм роботи нашого фільтра потрібно буде подати в частотній області – у вигляді частотної характеристики K(ω). Для цього скористаємося допомогою знову-таки «магічного скла» ПФ.
Мал. 4. Швидке перетворення Фур'є
Отже, два шляхи – який із них обрати? Очевидно, той, що простіше. У всякому разі, у більшості практичних завдань перевага надається частотному напрямку.
Якщо виконувати ДПФ вхідної послідовності, так би мовити, прямо - строго за вихідною формулою, то буде потрібно багато часу (особливо якщо кількість вхідних відліків велика). Конструктивніше використовувати принцип «розділяй і владарюй», що лежить в основі алгоритму БПФ. Відповідно до нього вхідна послідовність ділиться на групи (наприклад, парні та непарні відліки), і для кожної з них виконується ДПФ, а потім отримані результати об'єднуються. У результаті виходить ДПФ вхідної послідовності - ісуттєва економія часу. Тому описаний алгоритм і назвали – швидке перетворення Фур'є.
Лаврус В.С. Практика вимірів у телевізійній техніці. - К.: НіТ, 1996.