Перетворення графіків: паралельне перенесення, симетрія
3.1.5. Перетворення графіків: паралельне перенесення, симетрія щодо осей координат
Перетворення графіків: паралельне перенесення, симетрія
У чистому вигляді основні елементарні функції трапляються, на жаль, не так часто. Набагато частіше доводиться мати справу з елементарними функціями, отриманими з основних елементарних за допомогою додавання констант та коефіцієнтів. Графіки таких функцій можна будувати, застосовуючи геометричні перетворення графіків відповідних основних елементарних функцій (чи переходити до нової системи координат).
За допомогою геометричних перетворень графіка функції f(x) може бути побудований графік будь-якої функції виду \( \pm \cdot f( \pm \cdot (x + a)) + b,\) де \(, > 0\) - коефіцієнти стиснення чи розтягування (залежно від своїх значень) вздовж осей oy і ox відповідно. Знаки «мінус» перед коефіцієнтами вказують на симетричне відображення графіка щодо координатних осей, а і b визначають зсув щодо осей абсцис та ординат відповідно.
Таким чином, розрізняють три види геометричних перетворень графіка функції:
1. Перший вид -масштабування (стиск або розтяг) уздовж осей абсцис і ординат.
На необхідність масштабування вказують коефіцієнти k1 і k2, відмінні від одиниці, якщо (0 1 \), то виробляємо розтягнення вздовж осі ординат і стиск уздовж осі абсцис.
2. Другий вид -симетричне (дзеркальне) відображення щодо координатних осей.
На необхідність цього перетворення вказують знаки "мінус" перед коефіцієнтами k1 (у цьому випадку симетрично відображаємо графік щодо осі ox) і k2 (у цьому випадку симетрично відображаємо графік щодо осі oy). Якщо знаків «мінус» немає, цей крокпропускається.
3. Третій вид -паралельний перенесення (зсув) уздовж осей ox і oy.
Це перетворення проводиться в останню чергу за наявності коефіцієнтів a і b, відмінних від нуля. При позитивному а графік зрушується вліво на одиниць, при негативних а - вправо на одиниць. При позитивному графік графік функції паралельно переносимо вгору на одиниць, при негативному b - вниз на одиниць.
Розглянемо приклади
Побудувати графіки функції (y = - 10) і (y = + 10) в одній координатній площині.
Побудуємо для початку графік функції \(y = \), це парабола з вершиною в точці (0; 0) і гілками вгору.
Для побудови шуканого графіка функції (y = - 10) необхідно параболу паралельно перенести в негативному напрямку по У, тобто. вниз. Для побудови шуканого графіка функції (y = + 10) необхідно параболу паралельно перенести в позитивному напрямку по У, тобто. вгору.
Побудувати графіки функцій \(y = \right)^2>\) і \(y = \right)^2>\) .
За основу візьмемо той самий графік параболи, але паралельне перенесення здійснюватимемо вздовж осі Ох. За правилом перенесення графік зрушить ліворуч на 2 одиниці для функції \(y = \right)^2>\) . Для функції \(y = \right)^2>\) зрушення відбудеться вправо.
Побудувати графік функції \(y = - \).
За основу візьмемо той самий графік параболи. Зміна графіка, що виробляється, носить назву -відображення. Картинка вийде симетричною вихідною параболою, симетрія щодо Ох.
Побудувати графіки функцій \(y = \left( > \right)\) і \(y = \left( > \right)\) .
Для побудови цих графіків зробимо стиск графіка \(y = \) для першої функції та розтягнення – для другої.