Питання»Тригонометричне рівняння, Поступи до ВНЗ
У мене проблема наступного характеру: коли синус або косинус мають негативні значення (наприклад, sinx=-t), і коріння рівняння набуваютьне табличні значення (наприклад, х= arcsin t і т.д.), я до кінця не розумію, як правильно записати це коріння і як відібрати коріння на відрізку. Коли відрізок включає числа, скажімо так, першого кола (від 0 до 2Пі) можна ще зрозуміти. Але коли числа 2-го, 3-го тощо. кола чи числа негативні - виникають труднощі.
я вирішила наступне рівняння, у якому треба знайти коріння та відібрати коріння на відрізку[5Пі/2; 7Пі/2]
2sin2x + cos x + 4 sin x + 1=0
1).cosx = -1 (тут все зрозуміло і розглядати не будемо)
2).sin x = -1/4
Отут і виникають проблеми. Як правильно записати коріння?
x1 = - arcsin 1/4 + 2Пік
Як записати другий корінь:-Пі + arcsin 1/4 + 2Піk абоПі + arcsin 1/4+ 2Пік (тобтоПі - без мінуса).
І як відібрати, точніше, правильніше записати коріння на відрізку[5Пі/2;7Пі/2], де використовуються числа 2-го кола.
Можна винести π за дужку, тоді відповідь запишетьсяarcsin(1/4)+(2k+1)π
Один одиничний коло (один період) дорівнює 2π або 4π/2. Щоб дізнатися, скільки повних періодів лежить до даного відрізка, потрібно значення меж розділити на довжину кола.
(5π/2)/(4π/2)=1,25. Ціла частина дорівнює 1, це і є кількість повних періодів (кіл). Тоді відрізок можна привести до більш звичного вигляду:
ліва межа5π/2 -(4π/2)·1 = π/2
правий кордон7π/2 -(4π/2)·1 = 3π/2
Видно щовідрізок включає в себе другу і трьома чверті. До нього належать перший і третій корені рівняння, тоді як другий корінь -arccos(1/4) належить четвертої чверті й у відрізок не входить.
Тепер запишемо коріння відповідно до даного відрізка. Число повних кіл у нас дорівнює 1, а це і єk у знайденому корінні. Тоді відповідь буде
х1 = π+1·2π = 3π
х2 =arcsin(1/4)+(2·1+1)π =arcsin(1/4)+3π