Питома потенційна енергія деформації

У загальному випадку навантаження тіла за межами елемента з розмірами ребер dx, dy, dz будуть діяти як нормальні, так і дотичні напруги. Потенційна енергія, накопичена в цьому елементі при деформації тіла дорівнюватиме сумі робіт зовнішніх для виділеного елемента нормальних сил dN x =σ x dydz , dN y =σ y dxdz , dN z =σ z dxdy на подовження ребер паралелепіпеда Δdx=ε x dx , Δdy = ε y dy , Δdz = ε z dz і дотичних сил dQ xy = τ xy dydz , dQ xz = τ xz dxdy , dQ yz = τ yz dxdz на відповідних їм переміщеннях γ xy dx , γ xz dz , γ yzdy гра елемента (див. рис. 3.13):

.

Мал. 3.13. Робота нормальних та дотичних сил

Питома потенційна енергія, тобто енергія, накопичена в одиниці об'єму елемента, дорівнюватиме:

.

Якщо виразити компоненти деформацій через компоненти напруги за допомогою рівнянь (3.36), (3.37) узагальненого закону Гука, то вираз для u запишеться в наступному вигляді:

.

Припустимо, що напружений стан у точці тіла задано тензором напруг

.

Представимо цей тензор у вигляді суми двох тензорів:

,

;

- кульовий тензор, а

Подання тензора напруги у вигляді суми двох тензорів рівносильне уявленню даного напруженого стану (рис. 3.14) у вигляді суми двох напружених станів.

Питома потенційна енергія деформації при всебічному розтягуванні з напругою m визначається з рівняння (3.44):

і називається питомою потенційною енергією зміни обсягу, оскільки зміна обсягу залежить від суми нормальних напруг (див. рівняння (3.41)).

Питома потенційна енергія деформації для елемента, за межами якого діють компоненти девіатора напруги, визначається післявідповідних перетворень з наступного рівняння:

і називається питомою потенційною енергією зміни форми. Вочевидь, що питома потенційна енергія зміни форми у разі всебічного розтягування з компонентами кульового тензора дорівнює нулю. Так само питома потенційна енергія зміни обсягу елемента з компонентами девіатора напруг дорівнює нулю.

Мал. 3.14. Подання напруженого стану у вигляді суми двох напружених станів

---