Площі фігур, обмежених кривими лініями
Перейдемо тепер від багатокутників до постатей, обмежених кривими лініями. Отже, ми розглядаємо якусь замкнуту криву, яка як завгодно часто може перетинати себе; ми приписуємо їй певний напрямок обходу та запитуємо, яку площу вона обмежує.
Звичайно, ми знайдемо цю площу, апроксимуючи криву (мал. 14) багатокутниками з дуже великою кількістю дуже малих сторін і відшукуючи межу суми площ цих багатокутників, що визначаються щойно зазначеним чином. Якщо дві сусідні вершини такого апроксимуючого нашу криву багатокутника, то його площа складеться з суми елементарних трикутників, тобто виключно з доданку
У межі ця сума перетворюється на криволінійний інтеграл
узятий уздовж нашої кривої у вказаному напрямку; це дає нам визначення площі, яка обмежується нашою кривою.
Щоб дати геометричне тлумачення цього визначення, можна перенести на цей новий випадок результат, висловлений нами для багатокутників: кожна укладена всередині крива частина площі входить в інтеграл стільки разів зі знаком плюс і стільки разів зі знаком мінус, скільки разів вона описується відповідно проти годинникової стрілки або за годинниковою стрілкою при одноразовому обході всієї кривої в заданому напрямку.
У разі простої кривої, подібної до зображеної на рис. 14, цей інтеграл дає тому точно обмежується цією кривою площу зі знаком плюс.
На рис. 15 зовнішня частина вважається один раз, а внутрішня - двічі зі знаком плюс; на рис. 16 ліва частина отримує знак мінус, а права - знак плюс, так що загалом виходить негативна площа; на рис. 17 одну частину зовсім не доводиться брати до уваги, так як для неї виходить один разпозитивний, а іноді негативний обхід.
Звичайно, таким чином можуть виникнути і криві з площею, що дорівнює нулю, якби, наприклад, крива на рис. 16 була симетрична щодо точки перетину; цей випадок не уявляє сам собою нічого безглуздого, якщо взяти до уваги, що все визначення площі ґрунтується виключно на доцільних угодах.