Побудова АРПСС-моделі
У загальному вигляді модель АРПСС(p, d, q) має вигляд:
(9)
де - залишковий член помилки.
Побудова АРПСС моделі проілюструємо з прикладу як заданого алгоритму.
Таблиця 1. Результати проведення тесту Дікі-Фуллера для вихідних рівнів ряду.
У таблиці 2 наведено результати тесту Дікі-Фуллера для ряду різниць gfg і лагових змінних першого порядку. Як видно, процес стає стаціонарним після переходу до різниць першого порядку. Таким чином, порядок інтеграції моделі АРПССd=1.
Таблиця 2 Результати проведення тесту Дікі-Фуллера для низки різниць першого порядку.
2. Наступним етапом побудови моделі АРПСС (p, d, q) у пакеті є створення низки перших різниць. Для цього необхідно в меню робочого файлуObjectвибрати командуGenerate Series(створити ряд). У вікніGenerate Series by Equation(створення ряду за допомогою рівняння) (рис. 26) записати вираз: difgfg = D (gfg). Тут оператор D означає процедуру взяття різниць.
Мал. 26. Вікно створення ряду різниць.
§ У разі АР моделей її модуль убуває по експоненті, осцилюючи близько нуля;
§ У разі СС(q)моделі тільки першіqзначень відмінні від нуля;
§ У моделі АРСС(p, q), післяq-рзначень, АКФ має вигляд, такий самий, як АР модель.
Властивості поведінки ЧАКФ:
§ Для АР(р) моделей, вона дорівнює нулю після першихрзначень.
§ Для моделей СС вона експоненційно зменшується за модулем.
§ Для АРСС(р, q) моделей, після першихр-qзначень, вона поводиться як і для моделі СС.
Також для полегшення ідентифікаціїмоделі можна порівняти корелограми з базовими моделями (див. лекції).
Мал. 27. Корелограми ряду різниць.
4. Наступним етапом є безпосередня побудова моделі АРПСС. Для цього вQuickменю необхідно вибрати командуEstimate(оцінити вираз). У діалоговому вікні (рис. 28) в полі специфікації виразу для оцінюванняEquation Specificationзадається виразі:
Змінна для оцінювання (ряд різниць difgfg) терм AR (лаг запізнення, починаючи з 1 до р включно) терм МА (лаг запізнення, починаючи з 1 до q включно)
У прикладі малюнка 28 наведена модель, для якої р =1 іq=1. Як метод оцінювання АРПСС (p, d, q) обраний методMethodнайменших квадратів (LS – least squared).
Мал. 28. Вікно специфікації АРСС моделі.
5. Результати оцінювання моделі АРПСС наведено на малюнку 29. Значимість коефіцієнтів АР- та СС- складових перевіряється на основі відповідних їм t-статистик, які повинні перевищувати за модулем критичні значення t-статистики.
Мал. 29. Вікно результатів оцінювання АРСС (1, 1).
Мал. 31. Графічне уявлення одиничних коренів АРСС моделі.
Як видно з малюнку 31 коріння АРСС – процесу не виходять за межі одиничного кола, тобто модель є оборотною. (Докладно про це див., наприклад, [2] або [7]).
Перевірку адекватності побудованої моделі традиційно перевіряють на основі аналізу залишків, які у разі достовірних оцінок параметрів є гаусовим процесом білого шуму. Для перевірки у вікні результатів вибирають менюView,далі командуResidual tests, даліCorrelogram: з'являться графіки корелограм АКФ і ЧАКФ залишкової компоненти із зазначенням меж білого шуму, Якщо процес залишків задовольняє білому шуму, то коефіцієнти його АКФ і ЧАКФ не виходитимуть за межі білого шуму. Перевірити нормальність розподілу залишків можна, вибравши менюViewдалі командуResidual tests, даліHistogram-Normality Test:з'являється гістограма розподілу залишків із зазначенням основних описових статистик залишків, таких як середнє значення (mean), незміщене середнє квадратичне відхилення (std. dev), коефіцієнт асиметрії (skewness) та коефіцієнт ексцесу (kurtosis). Також дається статистика Бера-Жарка (Jarque-Bera) із зазначенням відповідної їй ймовірності (probability) здійснення помилки від прийняття альтернативної гіпотези про відмінність розподілу від нормального (рис 32).
Мал. 32. Гістограма розподілу залишків.
Побудувати прогноз можна вибравши командуForecastз менюProc. (Рис.33).
Мал. 33. Меню прогнозування.
ПроцедураForecast(рис. 34),використовуючи оцінену ARMA модель, визначає статичні та динамічні прогнози середнього значення моделі, прогноз його стандартних помилок (межі довірчого інтервалу прогнозу). Прогноз можна зберегти у робочому файлі, використовуючи відповідну процедуру: у рамціSeries names(імена рядів) ввести ім'я прогнозної змінної в поліForecast name. За замовчуванням EViews додасть до імені прогнозованої змінної букву f.
Мал. 34. Вікно визначення параметрів прогнозу моделі.
У разі вибору процедуриDo graph optionEViews побудує графік точкових значень прогнозу із зазначенням меж довірчого інтервалу (див.Мал. 35).
Мал. 35. Прогноз, побудований для моделі.
Зліва малюнку 35 зображено графік прогнозу, побудованого за рівнянням середньої, пунктиром відзначений довірчий інтервал прогнозу два стандартних відхилення.
Також EViews надає можливість побудувати два види прогнозу динамічнийDynamicта статичнийStatic(необхідно вибрати відповідний перемикач у рамціMethod(див. рис. 34). виконано динамічний прогноз, малюнку 36 – статичний.
Мал. 36 Статичний прогноз щодо моделі.
Виконання лабораторних робіт за допомогоюEviews.
Завдання до лабораторної роботи «Побудова ARMA(р,q)-моделі».
1) Перевірити вихідну інформацію (тимчасовий ряд) на стаціонарність і визначити порядок інтеграціїdза допомогою розширеного тесту Дікі-Фуллера.
2) Провести ідентифікацію моделі АРСС (p, q) за корелограмами автокореляційної та часткової автокореляційної функцій (АКФ, ЧАКФ).
3) Провести оцінку моделі АРСС (p, d, q). Перевірити важливість коефіцієнтів оціненої моделі.
4) Перевірити достовірність оцінок побудованої ARCH-моделі. У разі порушення умови спроможності чи ефективності оцінок переоцінити модель методом згідно з ітераційним алгоритмом Марквардта.
5) Провести економічний аналіз із приведенням прогнозу, згідно з побудованою моделлю. Прогноз будується на період випередженняТ/4, деТ- загальна кількість часових інтервалів вихідного ряду.
[1] Тут знаходження різниць - це лише знаходження змін значення змінної в наступні періоди, тобто величини (- це ряд різниць першого порядку). Якщо , то церяд різниць другого порядку.
[2] Див., наприклад, [4] або [6].
[3] Подібне твердження не є суворим, тому що можуть бути нестаціонарні процеси для яких АКФ і ЧАКф носять загасаючий характер.