Подвійне відношення - Студопедія

ІІ Основні факти проективної геометрії

Визначення 1 : Нехай A, B, C, D – чотири різні точки проективної прямої Р1, що породжують їх вектори , пов'язані співвідношеннями:

	(1)
	(2)

Тоді двоїстим або складним ставленням точок A, B, C, D називається число

(3)

Примітка 1 : (AB, CD)≠0 та (AB, CD)≠1.

1) Якщо =0, то =0 і =0, або =0. У випадку =0 маємо і точки D і збігаються (породжуються колінеарними векторами). У разі =0 маємо точки С і Ф збігаються. Точки ж A, B, C, D передбачаються різними.

2) Якщо =1, то =, тобто вектори колінеарні і породжують одну точку, але не збігається з D.

(4)

Зі співвідношення (1) випливає, що:

За формулами Крамера маємо:

, .

Аналогічно із співвідношення (2) випливає, що:

За формулами Крамера маємо:

, .

Підставляючи значення формулу (3), скорочуючи і переставляючи стовпці у двох визначниках, отримуємо шукану формулу (4).

Слідство 1:

а) подвійне відношення не зміниться, якщо в ньому поміняти місцями пари точок:

(5)

б) подвійне відношення зміниться на протилежне, якщо поміняти місцями крапки в одній із пар:

(6)

Для перевірки цих рівностей достатньо кожне із подвійних відносин висловити за формулою (4).

Слідство 2 : подвійне відношення чотирьох власних точок A(a), B(b), C(c), D(d) розширеної евклідової прямої виражається через їх неоднорідні координати а, в, с, d за формулою :

(7)

За теоремою § 7 маємо: (точка А – власна).

Оскільки проективні координати а1 і а2 точки А визначені з точністю до загального множника, поклавши а2=1, маємо а1=а. Аналогічно отримуємо. Якщо с2 = 1, то с1 = с.

Звідси: .

Замінюючи визначники в раєнні (4) вказаним способом, приходимо до рівності (7).

Визначення 2 : якщо , то четвірка точок називається гармонійною, пари точок A, B і C, D називаються гармонійно сполученими, а точка D четвертою гармонійною точкою до точок А, В, С.

Теорема 2 : на розширеній евклідовій прямій середина відрізка гармонійно пов'язана з невласною точкою Р∞ щодо його кінців.

Нехай С – середина відрізка АВ прямий і на ній введена неоднорідна система координат.

Тоді і c-a = b-c, тобто .

Нехай тепер - деяка власна точка прямої. Тоді за наслідком 2 з теореми 1 маємо:

.

Якщо спрямувати точку D до невласної точки Р∞, то d→∞ і отримаємо остаточно:

при d→∞.

Теорема 3 : (A, B) ÷ (C, D).

Теорема 4 : подвійне відношення чотирьох точок прямої не змінюється при проектному відображенні, зокрема при перспективному відображенні (центральному проектуванні). Назад, будь-яке відображення прямої, що зберігають подвійне відношення будь-яких чотирьох її точок, є проективним відображенням цієї прямої.

Доказ випливає із визначення проективного відображення та теореми 1 (формула 4).

Визначення 3 : подвійним чи складним ставленням чотирьох прямих пучка називається подвійне відношення чотирьох точок, у яких ці прямі перетинаються з довільною прямою р, яка не проходить через центр пучка S: (ab, cd) = (AB, CD).

Зауваження 2 : згідно з теоремою 4,подвійне відношення чотирьох прямих не залежить від вибору січної прямої р: (ab, cd) = (AB, CD) = (A'B', C'D').

Теорема 5 : – зв'язок складних відносин з простими відносинами.

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---